Многомерная случайная величина

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Многомерная случайная величина — упорядоченный набор (вектор) \mathbf{x}=(x_1,\ldots, x_n) фиксированного числа n одномерных случайных величин. Многомерное наблюдение \mathbf{a} — реализация м.с.в. Как правило \mathbf{a}\in\mathbb{R}^n. Многомерная выборка A=(\mathbf{a}_1,\ldots,<tex>\mathbf{a}_m)^T — неупорядоченный набор фиксированного числа m многомерных наблюдений. Основными числовыми характеристиками м.с.в. являются вектор средних и ковариационная матрица.

Вектор средних

Вектор средних — вектор математических ожиданий м.с.в. E\mathbf{x}=(Ex_1,\ldots,Ex_n). Оценкой вектора средних по многомерной выборке A является среднее значение реализаций м.с.в.

\hat{\mathbf{x}}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\mathbf{a}_i.

Ковариационная матрица

Пусть случайные величины — элементы м.с.в. — имеют конечные дисперсии. Ковариационной матрицей м.с.в. \mathbf{x} называется квадратная матрица

\Sigma=(\sigma_{ij}), i, j=1,\ldots, n,
в которой элементы \sigma_{ij}=\text{cov}(x_i, x_j) = E(x_i-Ex_i)(x_j-Ex_j) — ковариации случайных величин x_i и x_j. На главной диагнали матрицы находятся дисперсии Dx_i случайных величин x_i. Оценкой ковариационной матрицы по многомерной выборке A является
\hat{\Sigma}=(m-1)^{-1}A^TA.

Корреляционная матрица

Корреляционная матрица — матрица коэффициентов корреляции нескольких случайных величин с ненулевыми дисперсиями

R=(\rho_{ij}), i, j=1,\ldots, n,

в которой элементы \rho_{ij}= \frac{E(x_i-Ex_i)(x_j-Ex_j)}{\sqrt{Dx_i}\sqrt{Dx_j}} есть коэффициенты корреляции соответствующих случайных величин. Диагональные элементы матрицы равны единице. Справедливо соотношение \Sigma = DRD, где D — диагональная матрица с элементами \sqrt{Dx_i}.

Литература

  • Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика: Учебное пособие. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. 472 с.
  • Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия. / Под ред. Ю.В. Прохорова. М.: Большая Российская энциклопедия, 2003. 912 с.
Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%B0»
Личные инструменты