Интерполяция функций двух переменных, проблема выбора узлов
Материал из MachineLearning.
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
Интерполя́ция — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Рассмотрим систему несовпадающих точек (
) из некоторой области
. Пусть значения функции
известны только в этих точках:
Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что
- Точки
называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.
- Тройки
называют точками данных или базовыми точками.
- Разность между «соседними» значениями
— шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным так и постоянным.
- Функцию
— называют интерполирующей функцией .
Изложение метода
Пусть сетка образована пересечением прямых x = xn, n = 0, ..., N и y = ym, m = 0, ..., M, fnm = f(xn, ym) — значение функции в узле {xn, ym }.
Билинейная интерполяция
Билинейной интерполяцией называют расширение линейной интерполяции для функций двух переменных. Для этого сначала реализуется линейная интерполяция по x на каждой прямой y = ym . Затем при каждом значении x = xn реализуется линейная интерполяция по y с учетом значений функции, полученных на первом шаге.
Пусть
Результат билинейной интерполяции не зависит от порядка шагов: можно сначала интерполировать вдол оси абсцисс а затем вдоль оси ординат, так и наоборот, результат будет одним и тем же.
