Методы парабол (Симпсона) и более высоких степеней (Ньютона - Котеса)
Материал из MachineLearning.
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла
где - заданная и интегрируемая на отрезке
функция. На отрезке вводится сетка
и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число
где - значения функции
в узлах
, где
- весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора
. Формула (2) называется квадратурной формулой.
Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов
и таких весов
, чтобы погрешность квадратурной формулы
была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина зависит от гладкости
). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов.
Введем на
равномерную сетку с шагом
, т.е. множество точек
, и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:
Для построения формулы численного интегрирования на всм отрезке достаточно построить квадратурную формулу для интеграла
на частичном отрезке и воспользоваться свойством (3).
Построение квадратурных формул
В силу вышеизложенного выше, вычисление приближенного значения интеграла производится при помощи квадратурной формулы
Данную формулу при помощи замены можно привести к стандартному виду
В общем случае узлы и веса неизвестны и подлежат определению.
Рассмотрим случай, когда узлы заданы и требуется найти веса квадратурной формулы . Будем пользоваться требованием: формула (5) должна быть точной для любого полинома
степени
. Для того чтобы полином степени
удовлетворял данному требованию, достаточно потребовать, чтобы квадратурная формула была точной для любого одночлена
степени
. Учитывая, что
, получаем
уравнение
Эта система имеет единственное решение, так как ее определителем является определитель Вандермонда, отличный от нуля если нет совпадающих узлов, .
Так, полагая , имеем систему
, решением которой являются веса формулы Симпсона:
. Таким образом, формула Симпсона является точной для полинома второй степени. Однако, в силу симметрии, она является точной и для всех полиномов третьей степени:
так как она точна для :
Формулы треугольника и трапеции точны для линейной функции,т.е. для полинома первой степени, в чем легко убедиться непосредственно. В общем случае в качестве можно выбрать интерполяционный полином Лагранжа
где - интерполяционный коэффициент Лагранжа. Из равенства
видно, что формула (5) верна для полинома степени , если весовые коэффициенты
определяются по формуле
Формулы такого типа называют квадратурными формулами Котеса.
Изложение метода
Применение квадратурных формул
Вернемся к рассмотрению интеграла (1). Как было показано выше, данный интеграл заменой сводится к интегралу на единичном отрезке , а следовательно легко обобщить формулы для приближенного вычисления интеграла на единичном отрезке на произвольный. Применим аппарат квадратурных формул. Пусть задано равномерное разбиение отрезка с шагом
, где обозначим
. Пусть также выбрана некоторая квадратурная формула Ньютона-Котеса (то есть выбрана степень полинома
, а следовательно каждый полином строится по
точке сетки). Мы также считаем, что данный набор из
точки можно разбить на поднаборы по
точек с совпадающими крайним, то есть
где
Тогда, суммируя значения квадратур на каждом поднаборе, получим приближенное значение искомого интеграла. Если обозначить весовые множители то приближенное значение интеграла можно записать в виде двойной суммы
Данный алгоритм естественным образом обобщается на случай, когда , где
, а на каждом отрезке
задана равномерная сетка. Тогда искомый интеграл равен
а на каждом из отрезков приближенное значение интеграла вычисляется при помощи квадратурных формул.
Примеры квадратурных формул
Приведем примеры квадратурных формул Котеса на равномерной сетке с шагом
, где обозначим
:
- для 3 точек(метод Симпсона),
- для 4 точек,
- для 5 точек,
- для 6 точек,
- для 7 точек,
- для 8 точек,
- для 9 точек,
- для 10 точек,
Анализ метода
Числовой пример
Рекомендации программисту
Заключение
Список литературы
- А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
- А.А.Самарский. Введение в численные методы М.: Наука, 1982.
- http://mathworld.wolfram.com/Newton-CotesFormulas.html