Интерполяция функций двух переменных, проблема выбора узлов

Материал из MachineLearning.

Версия от 07:28, 19 октября 2008; Андрей (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Содержание

1 Введение
- 1.1 Постановка математической задачи
2 Изложение метода
3 Числовой пример
4 Рекомендации программисту
5 Заключение
6 Список литературы
7 См. также

Введение

Постановка математической задачи

Интерполя́ция — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Рассмотрим систему несовпадающих точек $~(x_i , y_i)$ ( $i\in{0,1,\dots,N}$ ) из некоторой области $~D$ . Пусть значения функции $~f$ известны только в этих точках:

$z_i = f(x_i,y_i),\quad i=1,\ldots,N.$

Точки $~(x_i , y_i)$ называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.
Тройки $~(x_i,y_i,z_i)$ называют точками данных или базовыми точками

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции $~F$ из заданного класса функций, что

$F(x_i,y_i) = z_i,\quad i=1,\ldots,N.$

$F(x,y)$ максимально приближает функцию $f(x,y)$ в произвольной точке $(x,y)$ внутри интерполяционной сетки.

Функцию $~F(x)$ — называют интерполирующей функцией .

Изложение метода

Проблема выбора узлов

Рассмотрим интерполяцию полиномами:
I. Заметим что не любое число узлов интерполяции выгодно. Если для одной переменной степень многочлена была взаимно однозначно связана с числом узлов, то для двух переменных многочлен n-ой степени $P_n(x,y)=\sum_{k+m=0}^na_{km}x^ky^m\$ имеет (n+1)(n+2)/2 узлов. Если число узлов не соответствует этой формуле, то часть коэффициентов при высших степенях должна задаваться принудительно (в частности нулями): для выбора этих коэффициентов редко есть разумные основания.
II. Также не всякое расположение узлов допустимо: в одномерном случае узлы не должны были совпадать. Теперь же для интерполяции многочеленом $P_1(x,y)$ необходимо, чтобы узлы не лежали на прямой в плоскости $(x,y)$ . При интерполяции многочленом $P_n(x,y)$ требуется, чтобы узлы не лежали на кривой n-го порядка.
Поэтому для хорошей интерполяции сетка должна быть регулярно построенной, а не представлять собой совокупность беспорядочно расположенных точек. Следущие два примера используют прямоугольную сетку, образованную пересечением прямых x = x_n, n = 0, ..., N и y = y_m, m = 0, ..., M,

f_nm = f(x_n, y_m) — значение функции в узле {x_n, y_m }.

Билинейная интерполяция

Билинейной интерполяцией называют расширение линейной интерполяции для функций двух переменных. Для начала реализуется линейная интерполяция по x на каждой прямой y = y_m . Затем при каждом значении x = x_n реализуется линейная интерполяция по y с учетом значений функции, полученных на первом шаге.
Пусть $\ x\in[x_n,x_n_+_1],\ \ y\in[y_m,y_m_+_1]$

$f(x,y)\approx \ f_{nm}\frac{(x_{n+1}-x)(y_{m+1}-y)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}\ \ \ +\ \ \ f_{n+1,m}\frac{(x-x_n)(y_{m+1}-y)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}+<br/>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +f_{n,m+1}\frac{(x-x_n)(y-y_m)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}\ +\ f_{n+1,m+1}\frac{(x_{n+1}-x)(y-y_m)}{{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}$

Результат билинейной интерполяции не зависит от порядка шагов: можно сначала интерполировать вдоль оси абсцисс а затем вдоль оси ординат, так и наоборот, результат будет одним и тем же.