Участник:Gukov/Песочница

Материал из MachineLearning.

Версия от 13:55, 19 октября 2008; Gukov (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

[убрать]

1 Введение
- 1.1 Постановка математической задачи
2 Изложение метода
- 2.1 Общие сведения
- 2.2 О сходимости
3 Числовой пример
4 Рекомендации программисту
5 Заключение
6 Список литературы

Введение

Постановка математической задачи

Задача численного интегрирования состоит в приближенном нахождении значения интеграла

( 1)

$I = \int\limits_a^b f(x)\,dx,$

где $f(x)$ - заданная и интегрируемая на $[a, b]$ функция. В качестве приближенного значения рассматривается число

( 2)

$I_n=\sum_{i=0}^n c_k f(x_k),$

где $c_k$ - числовые коэффициенты и $x_k$ - точки отрезка $[a,b]$ , $k = 0, 1, \ldots, n$ . Приближенное равенство

$\int\limits_a^b f(x)\,dx=\sum_{k=0}^n c_k f(x_k)$

называется квадратурной формулой, а сумма вида (2) - квадартурной суммой. Точки $x_i$ называются узлами квадратурной формулы. Разность

$\Psi _n = \int\limits_a^b f(x)\,dx-\sum_{k=0}^n c_k f(x_k)$

называется погрешностью квадратурной формулы. Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициентов.

Изложение метода

Общие сведения

Предположим, что для вычисления интеграла (1) отрезок $[a, b]$ разбит на $N$ равных отрезков длины $h = \frac{b-a}N$ и на каждом частичном отрезке применяется одна и та жа квадратурная формула. Тогда исходный интеграл $I$ заменяется некоторой квадратурной суммой $I_h$ , причем возникающая погрешность зависит от шага сетки $h$ . Для некоторых квадратурных формул удается получить разложение погрешности $I_h - I$ по степеням $h$ . Предположим, что для данной квадратурной суммы $I_h$ существует разложение:

( 3)

$I_h = I_0 + a_1 h^{\alpha _1} + a_2 h^{\alpha _2} + \ldots + a_m h^{\alpha _m} + O(h^{\alpha _{m+1}})$ ,

где $0 < \alpha _1 < \alpha _2 < \ldots < \alpha _m < \alpha _{m+1}$ и коэффициенты $\{ a_i \} \subset \mathbb{R}$ не зависят от $h$ . При этом величины $\{ \alpha _i \} \subset \mathbb{R}$ предполагаются известными. Теперь предположим:

$I(\frac{h}{r}) = I_0 + a_1\,\frac{h^{\alpha _1}}{r^{\alpha 1}} + a_2\,\frac{h^{\alpha _2}}{r^{\alpha 2}} + \ldots$

Чтобы избавиться от степени $h^{\alpha _1}$ , составляющей ошибку (ибо среди всех слагаемых, составляющих ошибку, слагамое при $h^{\alpha _1}$ является наибольшим) вычислим величину $r^{\alpha _1}\,I(\frac{h}r) - I(h)$ . Имеем:

$r^{\alpha _1}\,I(\frac{h}{r}) - I(h) = r^{\alpha _1}\,I_0 - I_0 + \fbox{a_1 h^{\alpha _1} - a_1 h^{\alpha _1}} + a_2\,\frac{h^{\alpha _2}}{r^{\alpha _2 - \alpha _1}} - a_2 h^{\alpha _2} + \ldots$

Отсюда

$I_1(h) = \frac{r^{\alpha _1}I(\frac{h}r) - I(h)}{r^{\alpha _1} - 1} = I_0 + \underbrace{a_2\,\frac{r^{\alpha _1 - \alpha _2} - 1}{r^{\alpha _1} - 1}}_{a_2 '}\,h^{\alpha _2} + \ldots$

то есть имеем более точное приближение к интегралу $I$ .

Таким образом, рекуррентную формулу можно записать в виде:

( 4)

$I_{i+1}(h) = I_i(\frac{h}r) + \frac{I_i(\frac{h}r) - I_i(h)}{r^{\alpha _1} - 1}$

Заметим, что $r$ - величина, на которую мы делим размер шага при каждом новом вычислении $I$ . Разумно положить $s = 2$ , т.к. большие значения $s$ могут вызвать резкое увеличение количества вычислений.