Тригонометрическая интерполяция

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Дискретное преобразование Фурье

В прикладных задачах часто используются различные преобразования Фурье функций непрерывного аргумента, а также представлений функций с помощью сходящихся тригонометрических рядов. Всякую непрерывно дифференцируемую функцию f можно разложить в ряд Фурье:

f(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \alpha_k exp{2\pi i k x}

коэффициенты \alpha_k находятся по следующим формулам

\alpha_k=\int \limits_{0}^{1} f(x) exp {-2 \pi i k x} dx

Но как правила функция задана только в некоторых точках или у нас есть возможность узнать её значения только в некотором конечном числе точек. Допустим, x_j=j/N, j=0,1,\dots,N-1 .В этом случае аналогом функции непрерывной интерполяции функции будет дискретный вариант:

f(x_j)=\sum_{k=0}^{N-1} \alpha_k exp{2\pi ikx_j}, 0\le j<N

Разложение имеет место когда функцию можно приблизить тригонометрическим многочленом следующего вида в заданных нам точках

S_N(x)=\sum_{k=0}^{N-1}a_k exp{2 \pi ikx}

Система функций \phi (x)=2\pi kx, 0\le k <N является ортогональной, на множестве точек x_j=j/N, 0\le j<N при том что (\phi_k,\phi_k)=N, таким образом разложение имеет место и коэффициенты a_k представляются в виде:

a_k=\frac{1}{N} \sum_{l=0}^{N-1} f(x_l)exp{-2\pi ikx_l}, 0\le k<N

Далее для удобства записи будем использовать \omega=exp{2\pi i/N}

Часто используется следующий вид формул:

f(x_j)=\sum_{-N/2<k\le N/2} a_k exp{2\pi ikx_j}, и это соответствует интерполяции тригонометрическим многочленом

S_N=\sum_{-N/2<k\le N/2}a_k exp{2\pi i kx},

где коэффициенты a_k считаются по тем же формулам.

Если вычисления проводить по вышеприведённым формулам, то на выполнения каждого из преобразований потребуется N^2 арифметических операций (считаем, что \omega=exp{2\pi i/N} уже вычислены). Если N не является простым числом, то количество операций можно значительно сократить, используя быстрое преобразование Фурье.

Пример использования

Рассмотрим применение тригонометрической интерполяции. Будем использовать для приближения следующий тригонометрический полином:

\begin{matrix} F_n(x)=a_0 & + & a_1 \cos x + a_2 \cos 2x+\dots + a_n \cos nx + \\ \ &+&b_1 \sin x + b_2 \sin 2x+\dots + b_n \sin nx . \end{matrix}

Будем искать приближение функции f(x). Пусть известно значения f(\frac{2\pi j}{2n+1})=y_i при j\in \{-n,-n+1,\dots,0,1,\dots n\}

Тогда по формулам изложенным выше можно получить a_m= \frac{2}{2n+1} \sum_{j=-n}^n y_j \cos \left( \frac{2\pi jm}{2n+1} \right),\quad b_m= \frac{2}{2n+1} \sum_{j=-n}^n y_j \sin \left(\frac{2\pi jm}{2n+1} \right)

Если интерполировать тригонометические функции и выбирать правильное число узлов, то погрешность приближается к нулю. Интересно рассмотреть функции, не являющиеся тригонометрическими, но обладающие периодом.

Погрешность вычислений

Список литературы

См. также

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F»
Личные инструменты