Вычисление второй производной по разным переменным

Материал из MachineLearning.

Содержание 1 Введение 1.1 Постановка математической задачи 2 Изложение метода 3 Примеры работы метода 4 Рекомендации программисту

Введение

Постановка математической задачи

Допустим, что в некоторой точке у функции существует производная 2-го порядка , которую точно вычислить либо не удаётся, либо слишком сложно. В этом случае для приближенного нахождения производной функции требуется использовать методы численного дифференцирования.

Изложение метода

Рассмотрим формулу =. Сведем задачу нахождения смешанной производной по двум разным переменным к задачам нахождения производной по одной переменной. Производную по одной переменной будем находить следующим образом - =. Получается что для нахождения смешанной производной достаточно найти три одномерные производные и вычислить значение исходной функции в четырех точках.

Для начала найдем две производные по y в точках и

Затем найдем искомую производную по формуле ==

Примеры работы метода

=. Результаты для точки M(0,0), где значение второй смешанной производной ,подсчитанной аналитически, равно 1, для приведены в таблице.

Значение	Абсолютная ошибка	Относительная ошибка
1e-1	3.3e-3	3.3e-3
1e-3	3.3e-7	3.3e-7
1e-5	3.3e-11	3.3e-11
1e-7	0	0
1e-9	0	0

Вычисления проводились в стандартном типе double (позволяет хранить 15 значащих десятичных цифр) языка C++.

Рекомендации программисту

Пример кода на C++

typedef double func(double ,double);

double SecondDerivative(func f,double x,double y,double hx,double hy)
{
	return (f(x+hx,y+hy)-f(x+hx,y-hy)-f(x-hx,y+hy)+f(x-hx,y-hy))/(4*hx*hy);
}