Коэффициент корреляции Кенделла

Материал из MachineLearning.

Версия от 14:07, 11 ноября 2008; Дорофеев Н.Ю. (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 Связь коэффициента корреляции Кенделла с коэффициентом корреляции Пирсона
2 Связь коэффициента корреляции Кенделла с коэффициентом корреляциии Спирмена
3 Литература

Корреляцию Кенделла также называют мерой взаимной неупорядоченности или рассогласования.

Заданы две выборки $x = (x_1,\ldots,x_n),\;\; y = (y_1,\ldots,y_n)$ .

Коэффициент корреляции, предложенный Кенделлом, равен

$\tau=1-\frac{4}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\left[[x_i<x_j]\neq[y_i<y_j]\right]$ ,

где [логическое выражение]=1, если логическое выражение верно, иначе, 0, например, $[x_i<x_j]=\left\{ \begin{array}{l} 1, x_i>x_j;\\ 0, x_i \geq x_j.\\ \end{array} \right$

Коэффициент $\tau$ принимает значения от -1 до 1. Равенство $\tau=1$ указывает на строгую линейную корреляцию.

Гипотеза $H_0$ : Выборки $x$ и $y$ независимы.

Статистика критерия:

$\frac{\tau}{\sqrt{D_{\tau}}},$

где $D_{\tau}=\frac{2(2n+5)}{9n(n-1)}$ .

При $n\geq 10$ статистику критерия можно приблизить нормальным распределением с параметрами (0,1):

$\frac{\tau}{\sqrt{D_{\tau}}}\sim N(0,1)$

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ ):

против альтернативы $H_1$ : наличие корреляции

если $|\tau| > \tau_{\alpha}=u_{\alpha}\cdot\sqrt{D_{\tau_{xy}}}$ , где $u_{\alpha}$ — $\alpha$ -квантиль стандартного нормального распределения.

Связь коэффициента корреляции Кенделла с коэффициентом корреляции Пирсона

В случае выборок из нормального распределения коэффициент корреляции Кенделла $\tau$ может быть использован для оценки коэффициента корреляции Пирсона $r$ по формуле

$r=sin{\frac{\pi\tau}{2}}$

Связь коэффициента корреляции Кенделла с коэффициентом корреляциии Спирмена

Выборкам $x$ и $y$ соответствуют последовательности рангов:

$R_x=(R_{x_1},\ldots,R_{x_n})$ , где $R_{x_i}$ — ранг $i$ -го объекта в вариационном ряду выборки $x$ ;

$R_y=(R_{y_1},\ldots,R_{y_n})$ , где $R_{y_i}$ — ранг $i$ -го объекта в вариационном ряду выборки $y$ .

Проведем операцию упорядочевания рангов.

Расположим ряд значений $x_i$ в порядке возрастания величины: $x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n$ . Тогда последовательность рангов упорядоченной выборки $x$ будет представлять собой последовательность натуральных чисел $1,2,\cdots,n$ . Значения $y$ , соответствующие значениям $x$ , образуют в этом случае некоторую последовательность рангов $T=(T_1,\cdots,T_n)$ .