Методы оптимизации (курс лекций)

Материал из MachineLearning.

Страница курса находится в стадии формирования

Настройка модели алгоритмов по данным — это задача оптимизации, от эффективности решения которой зависит практическая применимость метода машинного обучения. В эпоху больших данных многие классические алгоритмы оптимизации становятся неприменимы, т.к. здесь требуется решать задачи оптимизации функций за время меньшее, чем необходимо для вычисления значения функции в одной точке. Таким требованиям можно удовлетворить в случае грамотного комбинирования известных подходов в оптимизации с учётом конкретной специфики решаемой задачи. Курс посвящен изучению классических и современных методов решения задач непрерывной оптимизации (в том числе невыпуклой), а также особенностям применения этих методов в задачах оптимизации, возникающих в машинном обучении. Наличие у слушателей каких-либо предварительных знаний по оптимизации не предполагается, все необходимые понятия разбираются в ходе занятий. Основной акцент в изложении делается на практические аспекты реализации и использования методов. Целью курса является выработка у слушателей навыков по подбору подходящего метода для своей задачи, наиболее полно учитывающего её особенности. Курс рассчитан на студентов старших курсов и аспирантов. Знание основ машинного обучения приветствуется, но не является обязательным — все необходимые понятия вводятся в ходе лекций.

Занятия проходят на ФКН ВШЭ.

Лектор: Кропотов Дмитрий Александрович. Лекции проходят по вторникам в ауд. 622 с 13:40 до 15:00.

Семинаристы:

Группа	Семинарист	Расписание
141 (МОП)	Родоманов Антон Олегович	вторник, 15:10 – 16:30, ауд. 513
142 (МОП)	Хальман Михаил Анатольевич	вторник, 15:10 – 16:30, ауд. 501
145 (РС)	Дойков Никита Владимирович	вторник, 15:10 – 16:30, ауд. 503

Система выставления оценок по курсу

В рамках курса предполагается четыре практических задания, несколько домашних заданий и экзамен. Каждое задание и экзамен оцениваются по пятибалльной шкале. В итоговой оценке 45% составляют баллы за практические задания, 25% — баллы за домашние задания и 30% — оценка за экзамен. Для получения финального результата (0, 3, 4, 5) итоговая оценка по курсу округляется в большую сторону. За каждый день просрочки при сдаче практического задания начисляется штраф 0.1 балла, но суммарно не более 3 баллов.

Лекции

№ п/п	Дата	Занятие	Материалы
1	10 января 2017	Введение в курс. Скорости сходимости и дифференцирование	(Скорости сходимости) [Nocedal-Wright, pp. 617-620] (Дифференцирование) [Ben-Tal-Nemirovski, Section A.6]
2	17 января 2017	Методы одномерной оптимизации. Неточная одномерная оптимизация	(Одномерная оптимизация) Текст (Неточная одномерная оптимизация) [Nocedal-Wright, pp. 30-37] + [Ben-Tal-Nemirovski, pp. 164-166]
3	24 января 2017	Базовые методы многомерной оптимизации	[Nocedal-Wright, Chapter 3] + [Поляк, Разделы 1.4 и 1.5]
4	31 января 2017	Методы сопряженных градиентов	Презентация + [Nocedal-Wright, Chapter 5]
5	7 февраля 2017	Неточный метод Ньютона. Автоматическое дифференцирование	(Неточный метод Ньютона) [Nocedal-Wright, pp. 184-189] (Автоматическое дифференцирование) [Nocedal-Wright, Section 8.2]
6	14 февраля 2017	Квазиньютоновские методы. Метод L-BFGS	(Квазиньютоновские методы) [Nocedal-Wright, Section 6] (Метод L-BFGS) [Nocedal-Wright, pp. 176-180]
7	21 февраля 2017	Задачи условной оптимизации: теория.	[Поляк, Глава 9] + [Boyd-Vandenberghe, Sections 4 and 5]
8	28 февраля 2017	Метод Ньютона для задач с ограничениями вида равенств, метод барьеров	[Boyd-Vandenberghe, pp. 521-531, 561-571]
9	7 марта 2017	Прямо-двойственный метод внутренней точки	[Boyd-Vandenberghe, pp. 609-615]
10	14 марта 2017	Негладкая безусловная оптимизация. Субградиентный метод	[Поляк, Разделы 5.1-5.3] + [Nesterov, Sections 3.1-3.2.3]
11	21 марта 2017	Проксимальный градиентный метод. Сопряженные функции по Фенхелю	(Проксимальный градиентный метод) Слайды (Сопряженные функции) [Boyd-Vandenberghe, Section 3.3] + Слайды

Программа курса

Основные понятия и примеры задач

• Градиент и гессиан функции многих переменных, их свойства, необходимые и достаточные условия безусловного экстремума;
• Матричные разложения, их использование для решения СЛАУ;
• Структура итерационного процесса в оптимизации, понятие оракула, критерии останова;
• Глобальная и локальная оптимизация, скорости сходимости итерационных процессов оптимизации.

Методы одномерной оптимизации

• Минимизация функции без производной: метод золотого сечения, метод парабол;
• Гибридный метод минимизации Брента;
• Методы решения уравнения : метод деления отрезка пополам, метод секущей;
• Минимизация функции с известной производной: кубическая аппроксимация и модифицированный метод Брента;
• Поиск ограничивающего сегмента;
• Условия Армихо и Вольфа для неточного решения задачи одномерной оптимизации;
• Неточные методы одномерной оптимизации, backtracking.

Методы многомерной оптимизации

• Методы линейного поиска и доверительной области;
• Метод градиентного спуска: наискорейший спуск, спуск с неточной одномерной оптимизацией, скорость сходимости метода для сильно-выпуклых функций с липшицевым градиентом, зависимость от шкалы измерений признаков;
• Метод Ньютона: схема метода, скорость сходимости для выпуклых функций с липшицевым гессианом, подбор длины шага, способы коррекции гессиана до положительно-определённой матрицы;
• Метод сопряженных градиентов для решения систем линейных уравнений, скорость сходимости метода, предобуславливание;
• Метод сопряженных градиентов для оптимизации неквадратичных функций, стратегии рестарта, зависимость от точной одномерной оптимизации;
• Неточный (безгессианный) метод Ньютона: схема метода, способы оценки произведения гессиана на вектор через вычисление градиента;
• Квазиньютоновские методы оптимизации: SR1, BFGS и L-BFGS.

Методы внутренней точки

• Необходимые и достаточные условия оптимальности в задачах условной оптимизации, условия Куна-Таккера;
• Выпуклые задачи условной оптимизации, двойственная функция Лагранжа, двойственная задача оптимизации;
• Решение задач условной оптимизации с линейными ограничениями вида равенство, метод Ньютона;
• Прямо-двойственный метод Ньютона, неточный вариант метода;
• Метод логарифмических барьерных функций;
• Прямо-двойственный метод внутренней точки;
• Методы первой фазы.

Разреженные методы машинного обучения

• Модели линейной/логистической регрессии с регуляризациями L1 и L1/L2;
• Понятие субградиента выпуклой функции, его связь с производной по направлению, необходимое и достаточное условие экстремума для выпуклых негладких задач безусловной оптимизации;
• Метод наискорейшего субградиентного спуска;
• Проксимальный метод, вычисление prox-оператора для L1- и L1/L2-регуляризаторов.

Стохастическая оптимизация

• Задачи минимизации среднего и эмпирического риска;
• Метод стохастического градиентного спуска, две фазы итерационного процесса, использование инерции;
• Метод SAG;
• Комбинирование стохастической оптимизации и проксимального метода.

Суррогатная оптимизация

• Вероятностная модель логистической регрессии;
• Общая идея метода суррогатной оптимизации;
• Применение метода для стохастической оптимизации: метод MISO;
• Пример применения метода для обучения LASSO;
• Построение глобальных оценок с помощью неравенства Йенсена, ЕМ-алгоритм, его применение для вероятностной модели логистической регрессии;
• Построение оценок с помощью касательных и замены переменной;
• Оценка Jaakkola-Jordan для логистической функции, её применение для обучения вероятностной модели логистической регрессии;
• Выпукло-вогнутая процедура, примеры использования.

Методы оптимизации для глубинного обучения

• Адаптивная стратегия Левенберга-Марквардта для задачи минимизации суммы квадратов;
• Модель глубинного автокодировщика;
• Алгоритм обратного распространения ошибки и его обобщения для быстрого умножения гессиана на произвольный вектор;
• Неточный метод Ньютона с предобуславливанием через L-BFGS.

Литература

1. S. Sra et al.. Optimization for Machine Learning, MIT Press, 2011.
2. J. Nocedal, S. Wright. Numerical Optimization, Springer, 2006.
3. A. Ben-Tal, A. Nemirovski. Optimization III. Lecture Notes, 2013.
4. Б. Поляк. Введение в оптимизацию, Наука, 1983.
5. S. Boyd, L. Vandenberghe. Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004.
6. Y. Nesterov. Introductory Lectures on Convex Optimization: A Basic Course, Springer, 2003.
7. R. Fletcher. Practical Methods of Optimization, Wiley, 2000.
8. A. Antoniou, W.-S. Lu. Practical Optimization: Algorithms and Engineering Applications, Springer, 2007.
9. W. Press et al.. Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, 2007.