Методы оптимизации (курс лекций)

Материал из MachineLearning.

Страница курса находится в стадии формирования

Настройка модели алгоритмов по данным — это задача оптимизации, от эффективности решения которой зависит практическая применимость метода машинного обучения. В эпоху больших данных многие классические алгоритмы оптимизации становятся неприменимы, т.к. здесь требуется решать задачи оптимизации функций за время меньшее, чем необходимо для вычисления значения функции в одной точке. Таким требованиям можно удовлетворить в случае грамотного комбинирования известных подходов в оптимизации с учётом конкретной специфики решаемой задачи. Курс посвящен изучению классических и современных методов решения задач непрерывной оптимизации (в том числе невыпуклой), а также особенностям применения этих методов в задачах оптимизации, возникающих в машинном обучении. Наличие у слушателей каких-либо предварительных знаний по оптимизации не предполагается, все необходимые понятия разбираются в ходе занятий. Основной акцент в изложении делается на практические аспекты реализации и использования методов. Целью курса является выработка у слушателей навыков по подбору подходящего метода для своей задачи, наиболее полно учитывающего её особенности. Курс рассчитан на студентов старших курсов и аспирантов. Знание основ машинного обучения приветствуется, но не является обязательным — все необходимые понятия вводятся в ходе лекций.

Занятия проходят на ФКН ВШЭ.

Лектор: Кропотов Дмитрий Александрович. Лекции проходят по вторникам в ауд. 622 с 13:40 до 15:00.

Семинаристы:

Группа	Семинарист	Расписание
141 (МОП)	Родоманов Антон Олегович	вторник, 15:10 – 16:30, ауд. 513
142 (МОП)	Хальман Михаил Анатольевич	вторник, 15:10 – 16:30, ауд. 501
145 (РС)	Дойков Никита Владимирович	вторник, 15:10 – 16:30, ауд. 503

Система выставления оценок по курсу

В рамках курса предполагается четыре практических задания, несколько домашних заданий и экзамен. Каждое задание и экзамен оцениваются по пятибалльной шкале. В итоговой оценке 45% составляют баллы за практические задания, 25% — баллы за домашние задания и 30% — оценка за экзамен. Для получения финального результата (0, 3, 4, 5) итоговая оценка по курсу округляется в большую сторону. За каждый день просрочки при сдаче практического задания начисляется штраф 0.1 балла, но суммарно не более 3 баллов.

Лекции

№ п/п	Дата	Занятие	Материалы
1	10 января 2017	Введение в курс. Необходимое условие экстремума. Оракулы, скорости сходимости итерационных процессов.
2	17 января 2017	Точная одномерная оптимизация.
3	24 января 2017	Неточная одномерная оптимизация. Классы функций для оптимизации. Метод градиентного спуска.
4	31 января 2017	Матричные разложения и их использование для решения СЛАУ. Метод Ньютона для выпуклых и невыпуклых задач.
5	7 февраля 2017	Линейный метод сопряжённых градиентов.
6	14 февраля 2017	Неточный метод Ньютона. Разностные производные.
7	21 февраля 2017	Квазиньютоновские методы. Метод L-BFGS.
8	28 февраля 2017	Задачи условной оптимизации: условия ККТ.
9	7 марта 2017	Выпуклые задачи оптимизации. Двойственность. Метод барьеров.
10	14 марта 2017	Негладкая безусловная оптимизация. Субградиентный метод. Проксимальные методы.
11	21 марта 2017	Стохастическая оптимизация.

Программа курса

Основные понятия и примеры задач

• Градиент и гессиан функции многих переменных, их свойства, необходимые и достаточные условия безусловного экстремума;
• Матричные разложения, их использование для решения СЛАУ;
• Структура итерационного процесса в оптимизации, понятие оракула, критерии останова;
• Глобальная и локальная оптимизация, скорости сходимости итерационных процессов оптимизации.

Методы одномерной оптимизации

• Минимизация функции без производной: метод золотого сечения, метод парабол;
• Гибридный метод минимизации Брента;
• Методы решения уравнения : метод деления отрезка пополам, метод секущей;
• Минимизация функции с известной производной: кубическая аппроксимация и модифицированный метод Брента;
• Поиск ограничивающего сегмента;
• Условия Армихо и Вольфа для неточного решения задачи одномерной оптимизации;
• Неточные методы одномерной оптимизации, backtracking.

Методы многомерной оптимизации

• Методы линейного поиска и доверительной области;
• Метод градиентного спуска: наискорейший спуск, спуск с неточной одномерной оптимизацией, скорость сходимости метода для сильно-выпуклых функций с липшицевым градиентом, зависимость от шкалы измерений признаков;
• Метод Ньютона: схема метода, скорость сходимости для выпуклых функций с липшицевым гессианом, подбор длины шага, способы коррекции гессиана до положительно-определённой матрицы;
• Метод сопряженных градиентов для решения систем линейных уравнений, скорость сходимости метода, предобуславливание;
• Метод сопряженных градиентов для оптимизации неквадратичных функций, стратегии рестарта, зависимость от точной одномерной оптимизации;
• Неточный (безгессианный) метод Ньютона: схема метода, способы оценки произведения гессиана на вектор через вычисление градиента;
• Квазиньютоновские методы оптимизации: SR1, BFGS и L-BFGS.

Методы внутренней точки

• Необходимые и достаточные условия оптимальности в задачах условной оптимизации, условия Куна-Таккера;
• Выпуклые задачи условной оптимизации, двойственная функция Лагранжа, двойственная задача оптимизации;
• Решение задач условной оптимизации с линейными ограничениями вида равенство, метод Ньютона;
• Прямо-двойственный метод Ньютона, неточный вариант метода;
• Метод логарифмических барьерных функций;
• Прямо-двойственный метод внутренней точки;
• Методы первой фазы.

Разреженные методы машинного обучения

• Модели линейной/логистической регрессии с регуляризациями L1 и L1/L2;
• Понятие субградиента выпуклой функции, его связь с производной по направлению, необходимое и достаточное условие экстремума для выпуклых негладких задач безусловной оптимизации;
• Метод наискорейшего субградиентного спуска;
• Проксимальный метод, вычисление prox-оператора для L1- и L1/L2-регуляризаторов.

Стохастическая оптимизация

• Задачи минимизации среднего и эмпирического риска;
• Метод стохастического градиентного спуска, две фазы итерационного процесса, использование инерции;
• Метод SAG;
• Комбинирование стохастической оптимизации и проксимального метода.

Суррогатная оптимизация

• Вероятностная модель логистической регрессии;
• Общая идея метода суррогатной оптимизации;
• Применение метода для стохастической оптимизации: метод MISO;
• Пример применения метода для обучения LASSO;
• Построение глобальных оценок с помощью неравенства Йенсена, ЕМ-алгоритм, его применение для вероятностной модели логистической регрессии;
• Построение оценок с помощью касательных и замены переменной;
• Оценка Jaakkola-Jordan для логистической функции, её применение для обучения вероятностной модели логистической регрессии;
• Выпукло-вогнутая процедура, примеры использования.

Методы оптимизации для глубинного обучения

• Адаптивная стратегия Левенберга-Марквардта для задачи минимизации суммы квадратов;
• Модель глубинного автокодировщика;
• Алгоритм обратного распространения ошибки и его обобщения для быстрого умножения гессиана на произвольный вектор;
• Неточный метод Ньютона с предобуславливанием через L-BFGS.

Литература

1. J. Nocedal, S. Wright. Numerical Optimization, Springer, 2006.
2. S. Boyd, L. Vandenberghe. Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004.
3. S. Sra et al.. Optimization for Machine Learning, MIT Press, 2011.
4. A. Ben-Tal, A. Nemirovski. Optimization III. Lecture Notes, 2013.
5. Б. Поляк. Введение в оптимизацию, Наука, 1983.
6. Y. Nesterov. Introductory Lectures on Convex Optimization: A Basic Course, Springer, 2003.
7. R. Fletcher. Practical Methods of Optimization, Wiley, 2000.
8. A. Antoniou, W.-S. Lu. Practical Optimization: Algorithms and Engineering Applications, Springer, 2007.
9. W. Press et al.. Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, 2007.