Теория статистического обучения (курс лекций, Н. К. Животовский)

Материал из MachineLearning.

Содержание 1 Примерная программа курса 1.1 Постановки задач распознавания 1.2 Неравенства концентрации меры 1.3 Радемахеровский анализ 1.4 Размерность Вапника-Червоненкиса (ёмкость) 1.5 Условия малого шума 1.6 Онлайн обучение I 1.7 Онлайн обучение II 1.8 Нижние оценки и выбор модели 1.9 Регуляризация и устойчивость 1.10 Активное обучение 1.11 Снижение размерности 2 Ссылки

Курс знакомит студентов с теорией статистического обучения (Statistical Learning Theory), исследующей проблему надёжности восстановления зависимостей по эмпирическим данным.

В весеннем семестре 2017 года на кафедре Интеллектуальные системы ФУПМ МФТИ данный курс читается вместо курса Теория надёжности обучения по прецедентам, являющегося третьей частью трёхсеместрового курса Теория обучения машин, а также как альтернативный курс кафедры МОУ МФТИ.

Примерная программа курса

Постановки задач распознавания

• PAC (Probably Approximately Correct) обучение.
• Задачи классификации, регрессии и общая задача статистического оценивания.
• Функции потерь, риск, избыточный риск.
• No Free Lunch Theorem.
• Онлайн постановка.
• Алгоритм Halving.

Текст: Первая лекция‎

Неравенства концентрации меры

• Доказательство No Free Lunch Theorem
• Методы, основанные на производящих функциях моментов.
• Неравенства Маркова и Чебышева.
• Неравенство Хеффдинга.
• Неравенство ограниченных разностей.
• Доказательство обучаемости конечных классов.

Текст: Вторая лекция‎

Радемахеровский анализ

• Метод минимизации эмпирического риска.
• Классы Гливенко-Кантелли.
• Равномерные оценки отклонения частоты от вероятности.
• Оценки максимумов случайных величин.
• Верхние оценки избыточного риска.
• Радемахеровская сложность.
• Оценки избыточного риска, основанные на Радемахеровской сложности.

Текст: Третья лекция‎

Размерность Вапника-Червоненкиса (ёмкость)

• Понятие ёмкости.
• Функция роста семейства алгоритмов.
• Ёмкость семейства линейных разделяющих правил.
• Теорема Радона.
• Доказательство верхней оценки для чисел покрытия в классах с конечной ёмкостью.
• Верхние оценки Радемахеровской сложности классов конечной ёмкости.
• Теорема Дворецкого-Кифера-Вольфовитца

Текст: Четвертая лекция‎

Условия малого шума

• Энтропийная верхняя оценка Радемахеровской сложности.
• Неравенство Бернштейна.
• Условие малого шума Массара.
• Быстрые порядки обучаемости.
• Бесшумная классификация.
• Фундаментальная теорема PAC обучения.

Текст: Пятая лекция‎

Онлайн обучение I

• Размерность Литтлстоуна.
• Оптимальный алгоритм.
• Мартингальные неравенства Азумы и Чернова.
• Online to batch conversion.

Онлайн обучение II

• Размерность Литтлстоуна.
• Оптимальный алгоритм.
• Мартингальные неравенства Азумы и Чернова.
• Online to batch conversion.

Нижние оценки и выбор модели

• Нижние оценки для метода минимизации эмпирического риска.
• Оракульные неравенства.
• Структурная минимизация эмпирического риска.

Текст: Восьмая лекция‎

Регуляризация и устойчивость

• Понятие устойчивости в среднем и его связь с переобучением.
• Баланс эмпирического риска и устойчивости.
• Обучаемость ограниченной линейной задачи с выпуклой и липшицевой функцией потерь.

Текст: Девятая лекция‎

Активное обучение

• Постановка задачи.
• Активное обучение интервалов.
• Коэффициент разногласия.
• Алгоритм CAL.
• Алгоритм A² (Agnostic Active). Оценки сходимости.

Снижение размерности

• Метод главных компонент. Подход с SVD разложением и без него.
• Лемма Джонсона-Линденштраусса
• Compressed sensing
• Restricted isometry property
• Условия точного восстановления разреженного вектора.

Текст: Десятая лекция

Ссылки

Основная литература

1. Introduction to Statistical Learning Theory // Olivier Bousquet, Stéphane Boucheron, and Gábor Lugosi. Advanced Lectures on Machine Learning. Lecture Notes in Computer Science Volume 3176, 2004, pp 169-207
2. Understanding Machine Learning: From Theory to Algorithms // Shai Shalev-Shwartz and Shai Ben-David. Cambridge University Press, 2014
3. Theory of Classification: a Survey of Some Recent Advances // Olivier Bousquet, Stéphane Boucheron, and Gábor Lugosi. ESAIM: Probability and Statistics / Volume 9 / 2005
4. Concentration Inequalities: A Nonasymptotic Theory of Independence // Stéphane Boucheron, Gábor Lugosi, Pascal Massart. Oxford University Press, 2013
5. A Probabilistic Theory of Pattern Recognition // Luc Devroye, László Györfi, Gábor Lugosi. Springer Verlag, 1997.

Дополнительная литература

1. Concentration Inequalities and Model Selection. // Pascal Massart Ecole d’Et´e de Probabilit´es de Saint-Flour XXXIII – 2003. Springer Verlag, 2007
2. Risk bounds for statistical learning // Pascal Massart, Élodie Nédélec. Ann. Statist. Volume 34, Number 5 2006