Участник:Пасконова Ольга/Песочница
Материал из MachineLearning.
Содержание[убрать] |
Формула замены переменных в неопределенном интеграле
Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.
Теорема.
Пусть функции и
определены соответственно на промежутках
и
, причем
. Если функция
имеет на
первообразную
и, следовательно,
(1)
а функция дифференцируема на
, то функция
имеет на
, первообразную
и
(2)
Формула (1) называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой . Это название объясняется тем, что если формулу (2) записать в виде
то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл 
), можно сделать подстановку , вычислить интеграл
и затем вернуться к переменной
, положив
.
Примеры.
1. Для вычисления интеграла естественно сделать подстановку
, тогда
2. Для вычисления интеграла 
удобно применить подстановку
:
3. При вычислении интегралов вида 
полезна подстановка
:
Например,
Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:
Отметим, что формулу (2) бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла с помощью соответствующей замены переменного
свести к вычислению интеграла
(если этот интеграл в каком-то смысле «проще» исходного).
В случае, когда функция имеет обратную
, перейдя в обеих частях формулы (2) к переменной
с помощью подстановки
и поменяв местами стороны равенства, получим
Эта формула называется обычно формулой интегрирования заменой переменной.
Для того чтобы существовала функция , обратная
, в дополнение к условиям теоремы достаточно, например, потребовать, чтобы на рассматриваемом промежутке
функция
была строго монотонной. В этом случае, существует однозначная обратная функция
.
4. Интегралы вида 
в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно на некотором промежутке, легко сводятся с помощью заме¬ны переменного к табличным.
Действительно, замечая, что 
, сделаем замену переменной 
и положим 
. Тогда 
и, в силу формулы (2), получим
(перед стоит знак плюс, если а > 0, и знак минус, если а < 0). Интеграл, стоящий в правой части равенства, является табличным. Найдя его по соответствующим формулам и вернувшись от переменной
к переменной
, получим искомый интеграл.
Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида
5. Интеграл 
можно вычислить с помощью подстановки
. Имеем
, поэтому
Подставляя это выражение и замечая, что
окончательно будем иметь
Заметим, что для проверки результата, полученного при вычислении неопределенного интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого иптеграла.
Формула замены переменных в определенном интеграле
Теорема.
Пусть функция непрерывна на отрезке
, а функция
имеет непрерывную производную
на отрезке
, причём все значения
при
принадлежат отрезку
, в том числе
и
. Тогда имеет место равенство
Замечание.
Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной
. После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница.
Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной должны быть указаны пределы изменения именно
(то есть
и
), в то время как в исходном интеграле по переменной
указаны пределы изменения
(то есть
и
).
Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, - те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся.
Пример.
Вычислим интеграл
Для этого сделаем замену , откуда
. Кроме того, при
имеем
, а при
имеем
. Получаем:
Квадратурные формулы интерполяционного типа
Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов
(3)
где — заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и
— достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид
(4)
где и
— числа,
.
Получим квадратурные формулы путем замены интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке
. Полученные таким образом формулы называются квадратурными формулами интерполяционного типа. Как правило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда
.
Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул интерполяционного типа.
Пусть на отрезке заданы узлы интерполирования
. Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены как угодно на
.
Заменяя в интеграле (3) функцию интерполяционным многочленом Лагранжа
получим приближенную формулу (4), где
(5)
Таким образом, формула (4) является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу (5).
