Стандартизация задач с помощью замены переменных
Материал из MachineLearning.
Содержание |
Введение
Формула замены переменных в неопределенном интеграле
Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.
Теорема.
Пусть функции и определены соответственно на промежутках и , причем . Если функция имеет на первообразную и, следовательно,
а функция дифференцируема на , то функция имеет на , первообразную и
Формула (1) называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой . Это название объясняется тем, что если формулу (2) записать в виде
то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл ), можно сделать подстановку , вычислить интеграл и затем вернуться к переменной , положив .
Примеры.
1. Для вычисления интеграла естественно сделать подстановку , тогда
2. Для вычисления интеграла удобно применить подстановку :
3. При вычислении интегралов вида полезна подстановка :
Например,
Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:
Отметим, что формулу (2) бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла с помощью соответствующей замены переменного свести к вычислению интеграла (если этот интеграл в каком-то смысле «проще» исходного).
В случае, когда функция имеет обратную , перейдя в обеих частях формулы (2) к переменной с помощью подстановки и поменяв местами стороны равенства, получим
Эта формула называется обычно формулой интегрирования заменой переменной.
Для того чтобы существовала функция , обратная , в дополнение к условиям теоремы достаточно, например, потребовать, чтобы на рассматриваемом промежутке функция была строго монотонной. В этом случае, существует однозначная обратная функция .
4. Интегралы вида в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно на некотором промежутке, легко сводятся с помощью заме¬ны переменного к табличным.
Действительно, замечая, что , сделаем замену переменной и положим . Тогда и, в силу формулы (2), получим
(перед стоит знак плюс, если а > 0, и знак минус, если а < 0). Интеграл, стоящий в правой части равенства, является табличным. Найдя его по соответствующим формулам и вернувшись от переменной к переменной , получим искомый интеграл.
Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида
5. Интеграл можно вычислить с помощью подстановки . Имеем , поэтому
Подставляя это выражение и замечая, что
окончательно будем иметь
Заметим, что для проверки результата, полученного при вычислении неопределенного интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого иптеграла.
Формула замены переменных в определенном интеграле
Теорема.
Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция имеет непрерывную производную на отрезке , причём все значения при принадлежат отрезку , в том числе и . Тогда имеет место равенство
Замечание.
Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной . После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница.
Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной должны быть указаны пределы изменения именно (то есть и ), в то время как в исходном интеграле по переменной указаны пределы изменения (то есть и ).
Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, - те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся.
Пример.
Вычислим интеграл
Для этого сделаем замену , откуда . Кроме того, при имеем , а при имеем . Получаем:
Квадратурные формулы интерполяционного типа
Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов
где — заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и — достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид
где и — числа, .
Получим квадратурные формулы путем замены интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке . Полученные таким образом формулы называются квадратурными формулами интерполяционного типа. Как правило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда .
Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул интерполяционного типа. Пусть на отрезке заданы узлы интерполирования . Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены как угодно на .
Заменяя в интеграле (3) функцию интерполяционным многочленом Лагранжа
получим приближенную формулу (4), где
Таким образом, формула (4) является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу (5).
Формула замены переменных в кратном интеграле
Пусть — непрерывно дифференцируемое взаимпо-однозпачное отображение открытого множества в пространство и его якобиан не обращается в нуль на множестве .
Теорема.
Если — измеримое множество, содержащееся вместе со своим замыканием в открытом множестве : , а функция непрерывна на множестве , то
Эта формула равносильна формуле
Действительно, ограниченная функция одновременно интегрируема или нет как на измеримом множестве, так и на его замыкании, причем в случае интегрируемости интегралы от функции по множеству и по его замыканию совпадают.
В нашем случае функции и непрерывны соответственно на компактах и (являющихся замыканием измеримых множеств и ), следовательно, ограничены и интегрируемы на них.
Таким образом, все входящие в формулы (6) и (7) интегралы существуют, а сами эти формулы равносильны. Эти формулы называются формулами замены переменных в кратном интеграле.
Замена переменных в кратном интеграле часто существенно упрощает его исследование и вычисление. При этом в отличие от однократного интеграла нередко целью замены переменного является не упрощение подынтегральной функции, а переход к более простой области интегрирования даже ценой некоторого усложнения подынтегральной функции.
В качестве примера применения формулы замены переменных в кратном интеграле рассмотрим для двумерного интеграла случай перехода от декартовых координат к полярным.
Рассмотрим плоскость, на которой декартовы координаты обозначены , и на ней открытый прямоугольник
При отображении
прямоугольник отображается на множество плоскости с декартовыми координатами , которое представляет собой круг , из которого удален радиус .
Отображение (8) и его якобиан
непрерывно продолжаемы на замкнутый прямоугольник
образом которого при продолженном отображении является замкнутый круг , на котором отображение (8) уже не является взаимно-однозначным: взаимная однозначность нарушается на границе прямоугольника — отрезки при и отображаются в один и тот же отрезок , , а отрезок и вовсе отображается в точку (0, 0). Якобиан продолженного отображения обращается в нуль при .
Для отображения (8) и непрерывной на круге функции имеет место формула
Приведем конкретный пример вычисления интеграла по этой формуле:
Сведения об интегралах с бесконечными пределами
Определение.
Пусть функция непрерывна на бесконечном промежутке . Несобственным интегралом от функции на промежутке называется предел и обозначается
Определение.
Пусть функция непрерывна на бесконечном промежутке . Несобственным интегралом от функции f(x) на промежутке называется предел и обозначается
Определение.
Пусть функция непрерывна на всей числовой оси. Несобственный интеграл от функции на бесконечном промежутке определяется равенством
где — любое число на оси .
Из определений следует, что сходящиеся несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования являются конечными пределами определенных интегралов с переменными верхним или нижним пределами при стремлении этих пределов к бесконечности.
Пусть функция непрерывна и неотрицательна на бесконечном промежутке . Известно, что интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной снизу отрезком оси , сверху — кривой , слева и справа — прямыми и . При возрастании прямая перемещается вправо вдоль оси . Если при этом интеграл сходится, то его величину принимают за площадь бесконечной трапеции, ограниченной снизу осью , сверху — графиком функции , слева — прямой .
Заключение
Литература
- Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа в 3 томах.
- З.И. Гурова, С.Н. Каролинская, А.П. Осипова. Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами.
- А.А. Самарский, А.В. Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
- http://de.ifmo.ru/bk_netra/page.php?index=42&layer=1&tutindex=21#2
- http://sesia5.ru/vmat/gl5/21.html