Материал из MachineLearning.
Введение
Постановка математической задачи
Численное дифференцирование применяется, если функцию )
трудно или невозможно продифференцировать аналитически - например, если она задана таблицей. Оно нужно также при решении дифференциальных уравнений при помощи разностных методов.
Изложение метода
При численном дифференцировании функцию аппроксимируют легко вычисляемой функцией )
и приближенно полагают
=\varphi'(x))
. При этом можно использовать различные способы аппроксимации.
Интерполирование полиномами Лагранжа
Рассмотрим неравномерную сетку 
и обозначим за 
, 
шаги этой сетки. В качества примера получим формулы численного дифференцирования, основанные на использовании многочлена Лагранжа )
, построенного для функции )
по трем точкам 
.
Многочлен имеет вид
=\frac {(x-x_i)(x-x_{i+1})}{h_i(h_i+h_{i+1})}u_{i-1}-\frac {(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})}{h_ih_{i+1}}u_i+\frac {(x-x_{i-1})(x-x_i)}{h_{i+1}(h_i+h_{i+1})}u_{i+1})
Отсюда получим
=\frac{(2x-x_i-x_{i+1})}{h_i(h_i+h_{i+1})}u_{i-1}-\frac {(2x-x_{i-1}-x_{i+1})}{h_ih_{i+1}}u_i+\frac {(2x-x_{i-1}-x_i)}{h_{i+1}(h_i+h_{i+1})}u_{i+1})
Это выражение можно принять за приближенное значение )
в любой точке 
∈ ![[x_{i-1},x_{i+1}]](../mimetex/?[x_{i-1},x_{i+1}])
.
Его удобнее записать в виде
![L_{2,i}'(x)=\frac {1}{\bar{h_i}}[(x-x_{i-\frac{1}{2}}) \frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}} + (x_{i+\frac{1}{2}}-x) \frac{u_i-u_{i-1}}{h_i}]](../mimetex/? L_{2,i}'(x)=\frac {1}{\bar{h_i}}[(x-x_{i-\frac{1}{2}}) \frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}} + (x_{i+\frac{1}{2}}-x) \frac{u_i-u_{i-1}}{h_i}])
, где
)
, 
.
В частности, при 
получим
=\frac{1}{2}(\frac{h_i}{\bar{h_i}}\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}+\frac{h_{i+1}}{\bar{h_i}}\frac{u_i-u_{i-1}}{h_i}))
,
И если сетка равномерна, 
, то приходим к центральной разностной производной, =u_{\dot{x},i})
.
При использовании интерполяционного многочлена первой степени точно таким образом можно получить односторонние разностные производные 
и 
.
Далее вычисляя вторую производную многочлена , получим приближенное выражение для )
при ∈:
≈=\frac{1}{\bar{h_i}}(\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}- \frac{u_i-u_{i-1}}{h_i}))
На равномерной сетке это выражение совпадает со второй разностной производной 
. Ясно, что для приближенного вычисления дальнейших производных уже недостаточно многочлена , надо привлекать многочлены более высокого порядка и тем самым увеличивать число узлов, участвующих в аппроксимации.
Порядок погрешности аппроксимации зависит как от порядка интерполяционного многочлена, так и от расположения узлов интерполирования. Получим выражение для погрешности аппроксимации, возникающей при замене выражением )
. Будем считать, что ∈ и что величины 
имеют один и тот же порядок малости при измельчении сетки. По формуле Тейлора в предположении ограниченности }(x))
получим
+(x_{i+k}-x)u'(x)+\frac{{(x_{i+k}-x)}^2}{2}u''(x) +\frac{{(x_{i+k}-x)}^3}{3}u'''(x) +O(h^4))
,
где 
,±
Отсюда приходим к следующим разложениям разностных отношений
-(x-x_{i-\frac{1}{2}})u''(x)+(\frac{{(x-x_{i-\frac{1}{2}})}^2}{2}+\frac{h_i^2}{24})u'''(x)+O(h^3))
-(x_{i+\frac{1}{2}}-x)u''(x)+(\frac{{(x_{i+\frac{1}{2}}-x)}^2}{2}+\frac{h_{i+1}^2}{24})u'''(x)+O(h^3))
Подставляя полученные формулы в выражение для разностной производной и приводя подобные слагаемые получим
![L_{2,i}'(x)=u'(x)-[\frac{{(x-x_i)}^2}{2}-\frac{(h_{i+1}-h_i)(x-x_i)}{3}-\frac{h_ih_{i+1}}{6}]u'''(x)+O(h^3)](../mimetex/?L_{2,i}'(x)=u'(x)-[\frac{{(x-x_i)}^2}{2}-\frac{(h_{i+1}-h_i)(x-x_i)}{3}-\frac{h_ih_{i+1}}{6}]u'''(x)+O(h^3))
, ∈ .
Отсюда видно,что разностное выражение аппроксимирует со вторым порядком.
Если подставить полученные ранее разностные отношения в выражение для второй производной многочлена , то имеем
=u''(x)+(x_i-x + \frac{h_{i+1}-h_i}{3})u'''(x)+O(h^2))
Из этого выражения видно, что даже на равномерной сетке,т.е. когда 
, второй порядок аппроксимации имеет место лишь в точке , а относительно других точек (например,
) выполняется аппроксимация только первого порядка.
Таким образом, получим аппроксимацию лишь первого порядка.
