Автокорреляционная функция

Материал из MachineLearning.

Версия от 14:58, 10 января 2009; Argunov (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Автокорреляционная функция - это характеристика сигнала, которая помогает находить повторяющиеся участки сигнала или определять несущую частоту сигнала, скрытую из-за наложений шума и колебаний на других частотах. Автокорреляционная функция часто используется в обработке сигналов и анализе временных рядов.

Неформально автокорреляционная функция - это сходство между значениями сигнала как функция от разницы во времени между ними.

Определение

На графиках представлена коррелограмма сигнала и собственно сигнал. Коррелограмма проявляет неочевидные периодические составляющие сигнала.

В статистике автокорреляция случайного процесса описывает корреляцию между значениями процесса в различные моменты времени. Пусть $X_t$ - значение случайного процесса в момент времени $t$ ( $t$ может быть вещественным, если процесс непрервыный, или целым, если процесс дискретный). Если $X_t$ имеет среднее значение $\mu_t$ и дисперсию $\omega _t^2$ , то автокорреляция $X_t$ определяется следующим образом:

$R(t,s) = \frac{\operatorname{E}[(X_t - \mu_t)(X_s - \mu_s)]}{\sigma_t\sigma_s}$ ,

где "E" - это математическое ожидание. Заметим, что это определение не всегда корректно, так как знаменятель дроби может обращаться в нуль (для процессов-констант) или в бесконечность. Если же это выражение корректно, то его значение лежит в интервале [−1, 1], причем 1 оно принимает в случае полного совпадения, а −1 - в случае, если корреляции не наблюдается.

Для дискретного процесса длиной n ${X_1, X_2, \dots , X_n}$ с известными матожиданием и дисперсией автокорреляцию можно рассчитывать по следующей формуле:

$\hat{R}(k)=\frac{1}{(n-k) \sigma^2} \sum_{t=1}^{n-k} [X_t-\mu][X_{t+k}-\mu]$

для любых положительных целых k и n.

График автокорреляций выборки в зависиости от сдвига называется коррелограммой.

Свойства

Фундементальное свойство функции автокорреляции - это симметричность: R(i) = R(−i). В непрервыном случае автокорреляция - это четная функция:

$R_f(-\tau) = R_f(\tau)\,$

Непрервыная функция автокорреляции долстигает максимума в 0, так как для любого сдвига $\tau$ : $|R_f(\tau)| \leq R_f(0)$ . Аналогичное утверждение верно и для дискретного случая.