Экспоненциальное сглаживание

Содержание

Пусть задан временной ряд: $y_i \dots y_t,\; y_i \in R$ .

Необходимо решить задачу прогнозирования временного ряда, т.е. найти

$\hat{y}_{t+d}=f_{t,d}\left (y_1 \dots y_t \right),\; d \in \left{1,2, \dots D\right},\; D$ - горизонт прогнозирования, необходимо, чтобы

$Q_T=\sum_{i=1}^T \left( y_i-\hat{y}_i \right) \rightarrow min$

Для того, чтобы учитывать устаревание данных, введем невозрастающую последовательность весов $w_0,w_1, \dots w_T,\; w_i \geq 0$ , тогда

$Q_T=\sum_{i=1}^T w_{T-i} \left( y_i-\hat{y}_i \right) \rightarrow min$

Предположим, что D - невелико (краткосрочный прогноз), то для решения такой задачи используют модель Брауна (экспоненциальное сглаживание).

$\hat{y}_{t+1}=\alpha y_t + \left( 1-\alpha \right) \bar{y}_t,\;$ где $\bar{y}_t = \sum_{i=0}^t y_i/t,\; \alpha \in (0,1)$ .

Очевидно, что при $\alpha \rightarrow 1,\; \hat{y}_{t+1} \rightarrow y_t$ , а при $\alpha \rightarrow 0,\; \hat{y}_{t+1} \rightarrow \bar{y}_t$ ;

Обычно, α берут из интервала (0,1/3), в этом случае ряд стационарен и использование модели Брауна оправдано.

Модель работает только при небольшом горизонте прогнозирования. Не учитываются тренд и сезонные изменения.

Лукашин Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. — М.: Финансы и статистика, 2003.

Модель Хольта — учитываются линейный тренд без сезонности.

Модель Хольта-Уинтерса — учитываются мультипликативный тренд и сезонность.

Модель Тейла-Вейджа — учитываются аддитивный тренд и сезонность.

Это незавершённая статья. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её.