Коэффициент детерминации

Материал из MachineLearning.

Версия от 11:46, 11 января 2009; Argunov (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

В статистике коэффициентом детерминации, $R^2$ , называется величина, показывающая, какая доля дисперсии выборки определяется параметрами выбранной модели.

Определение

Существует несколько альтернативных определений коэффициента детерминации, однако в случае линейной регрессии все они эквивалентны: $R^2$ тогда равен квадрату коэффициента корреляции.

Пусть выборка имеет значения $y_i$ , и ей соответствуют модельные данные $f_i$ ; $\bar{y}$ и $\bar{f}$ - средние значения наблюдаемых и модельных данных. Тогда введем следующие обозначения:

$SS_{\rm tot}=\sum_i (y_i-\bar{y})^2,$ общая сумма квадратов отклонения (пропорциональная дисперсии);

$SS_{\rm reg}=\sum_i ({f_i}-\bar{f})^2,$ регрессионная сумма квадратов отклонений (объяснимая моделью);

$SS_{\rm err}=\sum_i (y_i - {f}_i)^2\,$ , сумма квадратов ошибок.

Общее определение коэффициента детерминированности:

$R^2 \equiv 1 - {SS_{\rm err}\over SS_{\rm tot}}.\,$

Дробь ${SS_{\rm err}\over SS_{\rm tot}}$ показывает отношение не объясненных моделью вариаций к общим вариациям, так что введенное таким образом определение ясно отражает суть понятия коэффициент детерминации.

Интерпретация

$R^2$ содержит информацию о том, насколько хорошо модель подходит под исходные данные. Например, в случае решения задачи регрессии коэффициент детерминации покажет, насколько график модельных значений совпадает с графиком наблюдаемых значений: если $R^2 = 1$ , то эти графики совпадают. Однако само по себе значение коэффициента детерминированности не может свидетельствовать о том, что модель выбрана правильно.