Функция интенсивности рисков

Материал из MachineLearning.

Версия от 14:22, 11 января 2009; Argunov (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Функция интенсивности рисков $\lambda (t)$ (этот термин был впервые использован в работе Barlow, 1963) определяется как вероятность того, что объект, выживший к началу соответствующего интервала, откажет или умрет в течение этого интервала.

Содержание

1 Функция интенсивности в дискретном случае
2 Функция интенсивности рисков в непрерывном случае
3 Смотри также
4 Источники
5 Внешние ссылки

Функция интенсивности в дискретном случае

В дискретном случае функция интенсивности рисков $\lambda (t)$ понимается как вероятность того, что поломка или смерть произошла в интервале времени $[t, t + \triangle t]$ . Функцию плотности рисков можно определить с помощью функции выживаемости $R(t)$ , которая показывает вероятность отсутствия отказов до момента времени $t$ :

$\lambda(t) = \frac{R(t)-R(t+\triangle t)}{\triangle t R(t)}$

Появление $R(t)$ в знаменателе объясняется тем, что фактически рассматривается условная вероятность.

Функция интенсивности рисков в непрерывном случае

Экспоненциальные функции плотности рисков

Вычисляя дискретную функцию интенсивности рисков для всё меньших интервалов времени $\Delta t$ , мы получим ее непрерывный аналог:

$h(t)=\lim_{\triangle t \to 0} \frac{R(t)-R(t+\triangle t)}{\triangle t \cdot R(t)}.$

Непрерывная Функция интенсивности рисков зависит от Функции распределения рисков $F(t)$ , которая описывает вероятность отказа к моменту времени t:

$P(\mathbf{T}\le t)=F(t)=1-R(t),\quad t\ge 0. \!$ ,

где ${T}$ - время отказа.

Функции распределения рисков соответствует некоторая функция плотности вероятности f(x),

$F(t)=\int_{0}^{t} f(x)\, dx. \!$

Теперь функцию интенсивности рисков можно определить следующим образом:

$h(t)=\frac{f(t)}{R(t)}. \!$

В качестве модели функции распределения рисков можно использовать различные известные функции распределения. Обычная модель - это экспоненциальное распределение рисков,

$F(t)=\int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda x}\, dx = 1 - e^{-\lambda t}, \!$ ,

основанное на экспоненциальном распределении.

$h(t) = \frac{f(t)}{R(t)} = \frac{\lambda e^{-\lambda x}}{e^{-\lambda x}} = \lambda$

Как мы видим, при экспоненциальной функции распределения рисков функция плотности рисков оказывается константой (в таком случае говорят, что распределение не имеет 'памяти').