Метод Белсли

Материал из MachineLearning.

Версия от 23:13, 19 февраля 2018; Oleksandr Kulkov (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Belsley, Kuh и Welsch предложили метод анализа мультиколлинеарности основанный на индексах обусловленности(the scaled condition indexes) и дисперсионных долях(the variance-decomposition proportions).

Разложение линейной модели

Рассматривается линейная регрессионная модель:

(1)

$y=X \beta + \varepsilon,$

где $y$ -– $n$ -мерный вектор зависимой переменной, $X$ -- $n \times p$ , $(n>p)$ матрица признаков, $\beta$ -- $p$ -мерный вектор неизвестных коэффициентов, параметров линейной регрессионной модели. Предполагается, что $n$ -мерный вектор случайного возмущения $\varepsilon$ имеет нулевое матожидание и ковариационную матрицу ${\sigma}^2 I$ , где $I$ -- $n \times n$ единичная матрица, а ${\sigma}^2>0$ . Будем считать что $X$ имеет ранг $p$ .

Сингулярное разложение

Если есть коллинеарность между признаками согласно Бэлсли имеет смысл использовать сингулярное разложение(SVD), чтобы определить вовлеченные переменные. Матрица сингулярного разложения $X$ определяется как:

(2)

$X=UDV^T.$

Здесь матрица $U$ -- $n \times p$ ортогональная. Матрица $D$ -- $p \times p$ диагональная прямоугольная, на диагонали которой стоят неотрицательные числа, сингулярными значениями $X$ . Диагональной прямоугольной назовем матрицу, ненулевые элементы которой имеют координаты вида $(i,i), i \in {1, \dots, p}.$ Матрица $V$ -- $p \times p$ ортогональная, ее столбцы -- собственные вектора $X^T X$ . Существование коллинеарной зависимости влечет близость к нулю некоторых сингулярных значений. Будем считать, что $(p - s)$ сингулярных значений близки к нулю. $d_{jj}$ , или просто $d_{j}$ , элементы матрицы $D$ упорядочены так, что
$d_{1} \geq d_{2} \geq ...\geq d_{s} \geq ... \geq d_{p} \geq 0$

Выявление части разложения ответственного за мультиколлинеарность

Рассмотрим разбиение

(3)

$D=\begin{pmatrix} D_{s\times s} & O_{s \times (p-s)} \\ O_{(p-s) \times s} & D_{(p-s)\times (p-s)} \end{pmatrix}. </p>$

Для такого разбиения $D_{s\times s}$ и $D_{(p-s)\times (p-s)}$ -- диагональные матрицы, а оставшиеся два недиагональных блока -- нулевые. Матрица $D_{s\times s} = D_S$ содержит достаточно большие сингулярные значения, а $D_{(p-s)\times (p-s)} = D_N$ содержит близкие к нулю сингулярные значения. Теперь разделим $U$ и $V$ :

$U=(U_{n\times s} U_{n \times (p-s)}) = (U_S U_N) </p>$

(4)

$V=(V_{p\times s} V_{p \times (p-s)}) = (V_S V_N), </p>$

где $U_{S}$ и $V_{S}$ соответствуют первым $s$ наибольшим сингулярным значениям, а $U_{N}$ и $V_{N}$ содержат $(p-s)$ векторов, соответствующих малым сингулярным значениям. Матрица $U$ ортогональна, т.е. $U^T U=I_{p \times p}$ , так же как и $U_{S}$ и $U_{N}$ . Таким образом
выполнено

$U^{T}_{S} U_{S}=I_{s \times s}$
$U^{T}_{N} U_{N}=I_{(p-s) \times (p-s)}$
$U^{T}_{S} U_{N}=O_{s \times (p-s)}$

(5)

$U^{T}_{N} U_{S}=O_{(p-s) \times s}$

Так как $V$ тоже ортогональная, то верно

$V^{T}_{S} V_{S}=I_{s \times s}$
$V^{T}_{N} V_{N}=I_{(p-s) \times (p-s)}$
$V^{T}_{S} V_{N}=O_{s \times (p-s)}$

(6)

$V^{T}_{N} V_{S}=O_{(p-s) \times s}.$

Здесь $O_n$ -- нулевая матрица размера $n$ . Таким образом, используя (2)-(6), запишем разложение:

(7)

$X=UDV^T=U_{S} D_{S} V_{S}^T + U_{N} D_{N} V_{N}^T$

Обозначим слагаемые в правой части как

$X_{S}=U_{S} D_{S} V_{S}^T$

(8)

$X_{N}=U_{N} D_{N} V_{N}^T$

Заметим что получившиеся матрицы ортогональны:

(9)

$X_{S}^{T} X_{N} = O,$

что обеспечивает возможность ортогонального разложения $X$ :

(10)

$X=X_{S}+X_{N}.$

Согласно нашим предположениям $X$ имеет ранг $p$ , и, следовательно, $X_{S}$ и $X_{N}$ имеют ранг $s$ и $(p-s)$ соответственно. Тогда для разложения (2) :

(11)

$X(V_{S} V_{N})=(U_{S} U_{N}) \begin{pmatrix} D_{S} & O \\ O & D_{N} \\ </p> \end{pmatrix}$

Далее получаем

(12)

$X V_{S}=X_{S} V_{S}=U_{S} D_{S}$

(13)

$X V_{N}=X_{N} V_{N}=U_{N} D_{N} \approx O$

Равенства в (12) и (13) получаются из (8) и (10), ссылаясь на то, что из ортогональности $V$ следует $V^T_N V_S = O$ . Это значит что полученная нами матрица $X_S$ содержит всю информацию и только ее, входящую в $X$ , и при этом свободна от коллинеарности, связанной с остальными $(p-s)$ собственными векторами.
Соответственно $X_N$ содержит только информацию связанную с коллинеарностью. Она порождает дополнительное пространство $\mathbb R^{\mathrm (p-s)}$ . Это пространство, связанное с элементами матрицы $D_N$ близкими к нулю, называется квази-нулевым пространством.

Получение выражения для ковариации параметров модели

Следовательно, предложенное разложение выделяет $X_S$ , часть $X$ , содержащую $s$ основных компонентов, которые в меньшей степени коллинеарны. $X^N$ же содержит информацию связанную с $p-s$ компонентами которые участвуют в коллинеарных зависимостях. Переменные, входящие в коллинеарности, это те, которые имеют наибольшие координаты в столбцах матрицы $V_N$ . Вектор $\beta$ минимизирует ошибку методом наименьших квадратов:

(14)

$\beta=(X^T X)^{-1} X^T y = X^{+}y$

где $X^{+}$ -- псевдообратная матрица $X$ . Последнее равенство выполняется только если $X$ имеет полный ранг. Используя предыдущее разложение может быть показано что:

(15)

$(X^T X)^{-1}=V D^{-2} V^T =V_S D^{-2}_S V_S^T + V_N D^{-2}_N V_N^T= (X^T_S X_S)^{+} +(X^T_N X_N)^{+}.$

Последнее равенство использует то, что $X^T_S X_S=V_S D^{2}_S V_S^T$ -- сингулярное разложение $X^T_S X_S$ и, следовательно, $(X^T_S X_S)^{+}=V_S D^{-2}_S V_S^T$ . Для $(X^T_N X_N)^{+}$ аналогично.
Подставляя (15) и (7) в (14) получаем выражение для параметров модели:

(16)

$\beta=V_S D^{-1}_S U_S^T y + V_N D^{-1}_N U_N^T y=X^{+}_S y + X^{+}_N y = {\beta}_S + {\beta}_N$

Окончательно модель:

(17)

$y=(X_S + X_N)({\beta}_S + {\beta}_N) +e.$

Здесь $e$ -- вектор регрессионных остатков.
Из (15) получаем выражение для ковариации параметров модели:

(18)

$Cov(\beta) = {\sigma}^2 (X^T X)^{-1}= {\sigma}^2 [V_S D^{-2}_S V_S^T + V_N D^{-2}_N V_N^T]={\sigma}^2 [(X^T_S X_S)^{+} +(X^T_N X_N)^{+} ] = Cov({\beta}_S) + Cov({\beta}_N)$

Элементы на главной диагонали $(X^T_N X_N)^{-1}$ это VIF, которые могут быть разложены на компоненты, соответствующие каждому ${\beta}_{Si}$ и ${\beta}_{Ni} (i=1,2,...,p).$
$D=\begin{pmatrix} D_{s\times s} & O_{s \times (p-s)} \\ O_{(p-s) \times s} & D_{(p-s)\times (p-s)} \end{pmatrix}.$

Выявление мультиколлинеарности

Мы будем исследовать мультиколлинеарность, использую собственные значения признаков. Мультиколлинеарность влечет близость к нулю одного или более собственных значений, а соответствующие им собственные вектора содержат информацию о зависимостях между признаками. Предложенное разложение помогает выявить переменные, которые показывают наибольшую вовлеченность в зависимости.
Из (16) получаем:

(19)

${\beta}_i={\beta}_{Si}+{\beta}_{Ni}=\sum^{s}_{j=1} { \frac{{\upsilon}_{ij}}{d_j}} \sum^{n}_{l=1} { {u}_{lj}}{y_l} + \sum^{n}_{j=s+1} { \frac{{\upsilon}_{ij}}{d_j}} \sum^{n}_{l=1} { {u}_{lj}}{y_l}$

где $V=({\upsilon}_{ij})$ и $U=({u}_{ij})$ . Значения ${\beta}_{Si}$ и ${\beta}_{Ni}$ зависят от элементов $U$ и $y$ , и от соотношений $\frac{{\upsilon}_{ij}}{d_j}$ , определяющих соотношения между признаками. Значения $d_j$ всегда больше нуля (мы считаем что ранг $X$ равен $p$ ), тогда как ${\upsilon}_{ij}$ принимает значения от -1 до 1. Отрицательные значения ${\upsilon}_{ij}$ могут привести к тому, что ${\beta}_{Si}$ и ${\beta}_{Ni}$ будут разных знаков. При этом один из параметров может иметь абсолютное значение больше $\beta$ . Для собственных векторов, соответствующих очень маленьким собственным значениям, верно, что большие абсолютные значения ${\upsilon}_{ij}$ означают вовлеченность соответствующих переменных в мультиколлинеарность. Если несколько собственных значений близки к нулю, то мы можем пересмотреть понятие близости к нулю. Тем самым, мы увеличим порядок $(p-s)$ . Это обычно приводит к уменьшению абсолютных значений ${\beta}_{Si}$ и увеличению ${\beta}_{Ni}$ . Если $(p-s)$ соответствует числу индексов обусловленности, существование зависимостей ${\beta}_{Si}$ может рассматриваться как общие значения параметров метода наименьших квадратов. Это позволяет избежать случая несоответствия знака параметра экспертной модели. С помощью разложения мы можем получить нужный знак ${\beta}_{Si}$ , в то же время часть значений параметров ${\beta}_{Ni}$ будет иметь противоположный знак и большее абсолютное значение.
Чтобы лучше исследовать влияние коллинеарности на параметры линейной регрессии, ковариационная матрица может быть переписана как:

(20)

$Cov({\beta}_{Si})={\sigma}^2 \left( \begin{array}{ccc} \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{1l}^2}{d_l^2}} & \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{1l} {\upsilon}_{2l}}{d_l^2}} & \cdots & \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{1l} {\upsilon}_{pl}}{d_l^2}}\\ \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{2l} {\upsilon}_{1l}}{d_l^2}} & \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{2l}^2}{d_l^2}} & \cdots & \sum^{s}_{l=1}{ \frac{{\upsilon}_{2l} {\upsilon}_{pl}}{d_l^2}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{pl} {\upsilon}_{1l}}{d_l^2}} & \sum^{s}_{l=1}{ \frac{{\upsilon}_{pl} {\upsilon}_{2l}}{d_l^2}} & \cdots & \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{pl}^2}{d_l^2}} \\ \end{array} \right)$

(21)

$Cov({\beta}_{Ni})={\sigma}^2 \left( \begin{array}{ccc} \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{1l}^2}{d_l^2}} & \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{1l} {\upsilon}_{2l}}{d_l^2}} & \cdots & \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{1l} {\upsilon}_{pl}}{d_l^2}}\\ \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{2l} {\upsilon}_{1l}}{d_l^2}} & \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{2l}^2}{d_l^2}} & \cdots & \sum^{p}_{l=s+1}{ \frac{{\upsilon}_{2l} {\upsilon}_{pl}}{d_l^2}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{pl} {\upsilon}_{1l}}{d_l^2}} & \sum^{p}_{l=s+1}{ \frac{{\upsilon}_{pl} {\upsilon}_{2l}}{d_l^2}} & \cdots & \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{pl}^2}{d_l^2}} \\ \end{array} \right)$

Отклонение каждого ${\beta}_{i}$ может быть выражено как

(22)

$Var({\beta}_{i})= {\sigma}^2 \sum^{p}_{j=1} { \frac{{\upsilon}_{ij}^2}{d_j^2}}$

Из (18) мы можем разделить отклонение:

(23)

$Var({\beta}_{i})=Var({\beta}_{Si})+Var({\beta}_{Ni})= {\sigma}^2 [{VIF}_{Si} +{VIF}_{Ni}]= {\sigma}^2 \sum^{s}_{j=1} { \frac{{\upsilon}_{ij}^2}{d_j^2}}+ {\sigma}^2 \sum^{p}_{j=s+1} { \frac{{\upsilon}_{ij}^2}{d_j^2}}$

Так как сингулярные значения $d_{s+1}...d_p$ близки к нулю,то если соответствующие ${\upsilon}_{ij}$ не очень малы, второй член будет больше первого, так как отклонение ${\beta}_{Ni}$ будет больше чем ${\beta}_{Si}$ . Тогда по мере увеличения размерности квази-нуль пространства, мы можем ожидать, что переменные, которые более активно участвовуют в коллинеарных отношениях, связанных с собственными векторами принадлежащими этому пространству должны будут уменьшать значения $Var({\beta}_{Si})$ и увеличивать $Var({\beta}_{Ni})$ .