Вероятностное пространство
Материал из MachineLearning.
Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.
Определение
Вероятностное пространство — это тройка , где:
-
— это множество объектов
, называемых элементарными исходами эксперимента. На это множество не накладывается никаких условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество
необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного опыта. С формальной математической точки зрения «произвести случайный опыт» означает в точности указать один элементарный исход
, который произошел в данной реализации опыта.
-
— это некоторая зафиксированная система подмножеств
, которые будут называться (случайными) событиями. Если элементарный исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в событие
, то говорят, что в данной реализации событие
произошло, иначе говорят, что событие не произошло. Совокупность событий
должна быть сигма-алгеброй, то есть удовлетворять следующим свойствам:
- Пустое множество
должно быть событием, то есть принадлежать
. Это событие, которое существует в любом вероятностном пространстве, называется невозможным, поскольку оно никогда не происходит.
- Все множество
также должно быть событием:
. Это событие называется достоверным, так как происходит при любой реализации случайного опыта.
- Совокупность событий
должна образовывать алгебру, то есть быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций, выполняемых над конечным числом событий. Если
и
, тогда должно быть
,
,
. Операции над событиями имеют очевидный содержательный смысл.
- В дополнение к указанным свойствам, система
должна быть замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном числе (свойство сигма-алгебры). Если
, тогда должно быть
и
.
- Пустое множество
-
— это числовая функция, которая определена на
и ставит в соответствие каждому событию
число
, которое называется вероятностью события
. Эта функция должна быть конечной сигма-аддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, то есть обладать свойствами:
-
для любого
-
,
- Если
и
— события, причем
, тогда
(свойство аддитивности).
- Если
, причем Если
для любых Если
, тогда должно быть
(свойство сигма-аддитивности).
-
Дискретные вероятностные пространства
Если множество элементарных исходов конечно или счетно:
, то соответствующее вероятностное пространство называется дискретным. В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества
. В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу
число
так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события
определяется следующим образом: