Биномиальное распределение

Материал из MachineLearning.

Версия от 10:04, 3 ноября 2009; Pavel Vilenkin (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Содержание

1 Определение
2 Основные свойства
3 Асимптотические приближения при больших n
4 Литература
5 Ссылки

Определение

Биномиальное распределение - дискретное распределение вероятностей случайной величины $X$ , принимающей целочисленные значения $k=0,1,\ldots,n$ с вероятностями:

$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$ .

Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом $n>0$ , называемым числом испытаний, и вещественным числом $p$ , $0\le p\le 1$ , называемом вероятностью успеха в одном испытании. Биномиальное распределение - одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых может произойти "успех" с вероятностью $p$ , то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы $X=X_1+\cdots+X_n$ независимых слагаемых, имеющих распределение Бернулли.

Основные свойства

Характеристическая функция $\phi(t)=(1+p(e^{it}-1))^n$

Моменты:

Математическое ожидание: $MX=np$
Дисперсия: $DX=np(1-p)$
Асимметрия: $\gamma_1=\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}$ ; при $p=0.5$ распределение симметрично относительно центра $n/2$

Асимптотические приближения при больших n

Если значения $n$ велики, то непосредственное вычисление вероятностей событий, связанных с данной случайной величиной, технически затруднительно. В этих случаях можно использовать приближения биномиального распределения распределением Пуассона и нормальным (приближение Муавра-Лапласа).

Приближение Пуассона

Приближение распределением Пуассона применяется в ситуациях, когда значения $n$ большие, а значения $p$ близки к нулю. При этом биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона с параметром $\lambda=np$ .

Строгая формулировка: если $n\to\infty$ и $p\to 0$ таким образом, что $np\to\lambda$ , то

$P(X=k)\to\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0,1,2,\ldots.$

Более того, справедлива следующая оценка. Пусть $Y$ - случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром $\lambda=np$ . Тогда для произвольного множества $B\subset\{0,1,2,\ldots\}$ справедливо неравенство:

$|P(X\in B) - P(Y\in B)|\le 2np^2.$

Доказательство и обзор более точных результатов, касающихся точности данного приближения, можно найти в [1, гл. III, §12].

Нормальное приближение

Приближение нормальным распределением (Муавра-Лапласа) используется в ситуациях, когда $n\to\infty$ , а $p$ фиксировано. Это приближение можно рассматривать как частный случай центральной предельной теоремы, применение которой основано на представлении $X$ в виде суммы $n$ слагаемых. Приближение основано на том, что при указанных условиях распределение нормированной величины

$X'=\frac{X-MX}{\sqrt{DX}}=\frac{X-np}{\sqrt{npq}$ , где $q=1-p$

близко к стандартному нормальному.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Данная теорема используется для приближенного вычисления вероятностей отдельных значений биномиального распределения. Она утверждает [1, гл. I, §6], что равномерно по всем значениям $k$ , таким что $|k-np|=o(npq)^{2/3}$ , имеет место

$P(X=k)\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}=\frac{1}{\sqrt{npq}}\varphi\left(\frac{k-np}{\sqrt{npq}}\right),$ где $\varphi$ - плотность стандартного нормального распределения.