Моменты случайной величины
Материал из MachineLearning.
Момент случайной величины — числовая характеристика распределения данной случайной величины.
Содержание |
Определения
Если дана случайная величина определённая на некотором вероятностном пространстве, то:
- -м начальным моментом случайной величины где называется величина
- если математическое ожидание в правой части этого равенства определено;
- -м центральным моментом случайной величины называется величина
- -м факториальным моментом случайной величины называется величина
- если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.
Замечания
- Если определены моменты -го порядка, то определены и все моменты низших порядков
- В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например:
- и т. д.
Геометрический смысл некоторых моментов
- равняется математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.
- равняется дисперсии распределения и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
- , будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение
- называется коэффициентом асимметрии.
- контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. Величина
- называется коэффициентом эксцесса распределения
Вычисление моментов
- Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью имеем:
если
если
- Также моменты случайной величины могут быть вычислены через ее характеристическую функцию :
- Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов то моменты могут быть вычислены по следующей формуле: