Тренд

Материал из MachineLearning.

Версия от 21:52, 19 ноября 2009; Vokov (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Содержание

1 Методы оценки
2 Моделирование трендов
3 Статистические тесты
4 Методы прогнозирования тренда временного ряда
5 Ссылки
6 Литература

Тренд — тенденция изменения показателей временного ряда. Тренды могут быть описаны различными функциями — линейными, степенными, экспоненциальными и т. д. Тип тренда устанавливают на основе данных временного ряда, путем осреднения показателей динамики ряда, на основе статистической проверки гипотезы о постоянстве параметров графика.

Методы оценки

Параметрические — рассматривают временной ряд как гладкую функцию от $t$ : $X_t=f(t,\theta),\; t=1,\ldots,n$ ; затем различными методами оцениваются параметры функции $\theta$ , например, методом наименьших квадратов. Выделяют линеаризуемые тренды, то есть приводимые к линейному виду относительно параметров тренда на основе тех или иных алгебраических преобразований.
Непараметрические — это разного рода скользящие средние (простая, взвешенная); метод применяется для оценки тренда, но не для прогнозирования; полезен в случае, когда для оценки тренда не удается подобрать подходящую функцию.

Предпололжим что основной процесс — неполностью изученная физическая система. Можно построить модель независимо от природы процесса, чтобы объяснить поведение показателей. В частности, можно узнать, возрастает или убывает тенденция показателей.

Моделирование трендов

Для описания временных рядов используются математические модели. Временной ряд $x_t$ , генерируемый некоторой моделью, можно представить в виде двух компонент:

$x_t=\xi_t+\epsilon_t,$

где величина $\epsilon_t$ — шум, генерируется случайным неавтокоррелированным процессом с нулевым математическим ожиданием и конечной (не обязательно постоянной) дисперсией, а величина $\xi_t$ может быть cгенерирована либо детерминированной функцией, либо случайным процессом, либо их комбинацией. Величины $\xi_t$ и $\epsilon_t$ различаются характером воздействия на значения последующих членов ряда:

переменная $\epsilon_t$ влияет только на значение синхронного ей члена ряда;
$\xi_t$ в известной степени определяет значение нескольких или всех последующих членов ряда.

Через величину $\xi_t$ осуществляется взаимодействие членов ряда; таким образом, в ней содержится информация, необходимая для получения прогнозов. Величина $\xi_t$ называется уровнем ряда в момент $t$ , а закон эволюции уровня во времени — трендом. Тренд может быть выражен как детерминированной, так и случайной функциями, либо их комбинацией. Стохастические тренды имеют, например, ряды со случайным уровнем или случайным скачкообразным характером роста.

Компоненты временного ряда $\xi_t$ и $\epsilon_t$ ненаблюдаемы. Они являются теоретическими величинами. Их выделение и составляет предмет анализа временного ряда в задаче прогнозирования. Оценку будущих членов ряда обычно делают по прогнозной модели. Прогнозная модель — это модель, аппроксимирующая тренд. Прогнозы — это оценки будущих уровней ряда, а последовательность прогнозов для различных периодов упреждения $\tau = 1, 2, \ldots, k$ составляет оценку тренда.

При построении прогнозной модели выдвигается гипотеза о динамике величины $\xi_t$ , т.е. о характере тренда. Однако в связи с тем, что уверенность в гипотезе всегда относительна, рассматриваемые модели наделяются адаптивными свойствами, способностью к корректировке исходной гипотезы или даже к замене ее другой, более адекватно (с точки зрения точности прогнозов) отражающей поведение реального ряда.

Пример детерминированного тренда:

$\xi_t = a_1 + a_2t + a_3t^2.$