Марковский алгоритм кластеризации

Материал из MachineLearning.

Данная статья является непроверенным учебным заданием. Студент: Участник:Konstantinov_bionet Преподаватель: Участник:Nvm Срок: 31 декабря 2018 До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}. См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Марковский алгоритм кластеризации

Марковский алгоритм кластеризации (MCL, Markov Clustering Algorithm) — алкоритм кластерного анализа основанный на потоке (случайном блуждании) в графе. Изначально разработан для выделения кластеров в простом графе, однако может быть применен к любым объектам для которых задана матрица сходства/различия. Данный алгоритм является быстрый и масштабируемым алгоритмом кластеризации.

Термины и определения

Граф состоит из двух типов объектов 1) вершин(узлов)- V 
2)ребер (пар вершин соединенных между собой) - E. Формально это можно записать как G:=(V,E)
Кроме этого, каждый граф можно представить в виде матрицы смежности (M) размером V*V. Где Mij равен растоянию между узлом i и узлом j.

Случайный обход графа -  такой обход вершин граф, при котором выбор следующей вершины зависит только от 
текущего положения на графе, а вероятность перейти к любой вершинне расчитывется исходя из матрицы 
смежности. Следует отметить что при таком обходе одна вершина может быть посещена неограниченное число раз. 
Случайное блуждание в графе представляет собой цепь Маркова.

Строго определить что такое кластер в графе, не представляется возможном, однако можно сделать следующие замечания:

-длинна пути между узлами одного кластера мало по сравнению с длинно пути между точками пренадлежажащими разным кластерам

-при случайном обходе графа, прежде чем покинуть кластер будут посещены многоие из его вершин.

Метод MCL опирается на второе заечание - расстояние между узлами графа относящихся к одному кластеру, меньше чем растояние между узлами относящимся к различным кластерам. т.е. верояность перехода (поток) между узлами внутри одного кластера много больше чем между узлами относящимися к разным кластерам. Таким образом если усиливать поток там где он силен и ослаблять его там где он слаб то согласно парадигме кластеризации графа границы между различными кластерами будут исчезать. Таким образом будет выявлена кластерная структура графа.

Общее описание метода

Моделирование потока в графе осуществляется путем преобразования его в марковский граф (см. рисуйнок 1).

Рисуйнок 1. Преобразование графа в марковский граф

На первом шаге граф преобразуется в матрицу растояний между узлами (смежную матрицу). В слуае если граф является не взвешенным можно считать что вес всех ребер равен единице. На втором шаге происходит преобразование смежной матрицы в матрицу вероятностей переходов между узлами (стохастическую матрицу). Для этого как правило нормируют значения в каждом отдельном столбце матрицы рассотяний, однако может быть применен любой другой алгоритм.

После того как стохастическую матрица получена, к ней поочердно применяют две функции (распространение и накачивание) до тех пор пока матрица изменяется (см. рисуйнок 2).

Рисуйнок 2. Блок-схема алгоритма MCL

1) распространение (N) - представляет собой возведение матрицы в степень N. Данная операция усиливает поток из вершины на потенциальных участников кластера. 2) накачивание (K) - представляет собой применение произведения Адамара матрицы самой на себя. (произведение Адамара - бинарная операция над двумя матрицами одинаковой размерности, результатом которой является матрица той же размерности, в которой каждый элемент с индексами i, j — это произведение элементов с индексами i, j исходных матриц). Данная операция уменьшает вероятности переходов между кластерами быстрее чем вероятности переходов внутри одного кластера. Так же на этом шаге выполняеца нормирование каждого столбца матрицы.

В данном алгоритме необходимо подбирать степь распространения и накачивании (так как это непосредственно вляйет на разбиение). Увеличение степени распространении - увеличивает средний размер кластера, в то время как увеличение степени накачивания - приводит к увеличению количества кластеров.

В ходе выполнения алгоритма выделяются узлы которые являются "центрами" кластеров. Наглядная визуализация алгоритма приведена на рисунки 3. Как можно заметить в ходе работы алгоритма граф становится все менее и менее связным пока не будет разделен на кластеры.

Рисунок 3 Визуализация метода

Примеры способов кластеризации

Рисунок 4 кластеризации простого графа методом MCL. Слева грав до кластеризации, справа после кластеризации

Расмотрим работу данного метода на примере кластеризации простого графа и его смежной матрицы.

Возьмем граф состоящий из 12 вершин и составим для него матрицу вероятностей переходов между узлами. Так как граф является не взвешенным вероятности перехода между соседними узлами и вероятность остаться в этом узле будет равна 1/(количество ребер смежных с вершиной + 1). Матрица вероятностей переходов между узлами представленна вверху рисунка 5. Кроме этого на рисунке 5 представлен результат выполнения функции распространения без регулярной инфляции. Как не сложно заметить в результате этого получается полносвязный граф. Однако при выполнении инфляции в каждом цикле алгоритма приводит к выделению кластерной структуры алгоритма, это можно наблюдать на рисунке 6.

Рисунок 5 экспансия без инфляции

Рисунок 6 экспансия с инфляцией

Плюсы и минусы алгоритма

1. Плюсы алгоритма
   1. Работает как с взвешенными, так и с невзвешенными графами
   2. Устойчив к шуму в данных
   3. Количество кластеров не указано заранее, но можно настроить степень детализации кластера
   4. Может находить кластера произвольной формы
2. Минусы алгоритма
   1. Не нацелен находить перекрывающиеся кластеры (*)
   2. Не подходит для кластеров большого размера
   3. Часто кластеры получаются разного размера
   4. Время работы алгоритма в наихудшем случае Ο(V^3), однаков слкчае разряженной матрицы время расчета может уменьшаться до Ο(V) и расчет может быть распаралален на несколько процессоров.

Данный алгоритм был разработан в рамках PhD работы Van Dongen в 2000 году в центре математических и компьютерных наук в Нидерландах. В 2012 году были разработанны такие вариации алгоритма как MLR-MCL и R-MCL которые облдали меньшим количеством недостатков. [Satuluri V. M. Scalable clustering of modern networks : дис. – The Ohio State University, 2012.]

1. На сегодняшний день данный алгоритм применяется для данных в молекулярной биологии (выделение групп генов) [S. Brohee and J. van Helden. Evaluation of clustering algorithms for protein-

protein interaction networks. BMC Bioinformatics, 7, 2006.][J. Vlasblom and S.J. Wodak. Markov clustering versus affinity propagation for the partitioning of protein interaction graphs. BMC bioinformatics, 10(1):99, 2009.]

1. анализе изображений
2. проектировании плат и расположении микросхем.

Список используемой литературы

1) Van Dongen, S. 2000. “Graph clustering by flow simulation.” Ph.D. thesis, University of Utrecht, The Netherlands

2) https://www.micans.org/mcl/index.html

3) Li, Li, Christian J. Stoeckert, and David S. Roos. "OrthoMCL: identification of ortholog groups for eukaryotic genomes." Genome research 13.9 (2003): 2178-2189.

4)Satuluri, Venu, Srinivasan Parthasarathy, and Duygu Ucar. "Markov clustering of protein interaction networks with improved balance and scalability." Proceedings of the first ACM international conference on bioinformatics and computational biology. ACM, 2010.