Участник:Пасконова Ольга/Песочница

Материал из MachineLearning.

< Участник:Пасконова Ольга

Версия от 19:39, 11 декабря 2009; Пасконова Ольга (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 Статьи о группах методов или критериев
2 Свойства распределения хи-квадрат
3 Формулы для определителя
4 Объем параллелепипеда
5 Формула замены переменных в неопределенном интеграле
6 Формула замены переменных в определенном интеграле
- 6.1 Квадратурные формулы интерполяционного типа
7 Формула замены переменных в кратном интеграле
8 Сведения об интегралах с бесконечными пределами

Статьи о группах методов или критериев

Некоторые рекомендации

Эти статьи не содержат описаний методов, но в них должны перечисляться ссылки на большое число методов или критериев, объединённых под данным общим названием.
Должно даваться общее определение из классических источников (например, из энциклопедии теории вероятностей и математической статистики).
Желательны примеры задач.
Желательно указывать, чем отличаются различные критерии и методы в данной группе друг от друга, какие есть рекомендации по выбору одного из этих методов.
Любые сообщаемые факты должны сопровождаться ссылками на источник.
Помните, что предоставляемая информация должна быть полезна специалистам при решении практических задач.
Собрать грамотную подборку ссылок (вместо тупого копирования их содержимого) с вашими лаконичными комментариями — это уже очень полезно!

— К.В.Воронцов 02:14, 14 ноября 2009 (MSK)

Свойства распределения хи-квадрат

Распределение хи-квадрат устойчиво относительно суммирования. Если <math>\!Y_1, Y_2</math> независимы, и <math>\!Y_1 \sim \chi^2(n_1)</math>, а <math>\!Y_2 \sim \chi^2(n_2)</math>, то

<math>Y_1 + Y_2 \sim \chi^2(n_1 + n_2)</math>.

Из определения легко получить моменты распределения хи-квадрат. Если <math>Y \sim \chi^2(n)</math>, то

<math>\mathbb{E}[Y] = n</math>,

<math>\!\mathrm{D}[Y] = 2n</math>.

В силу центральной предельной теоремы, при большом числе степеней свободы распределение случайной величины <math>Y \sim \chi^2(n)</math> может быть приближено нормальным <math>Y \approx N( n, 2n )</math>. Более точно

<math>\frac{Y-n}{\sqrt{2n}} \to N(0,1)</math> по распределению при <math>n \to \infty</math>.

Формулы для определителя

1. Если матрица $A$ невырожденная, то $A = P^{-1}LDU$ и $\det A = \det P^{-1} \det L \det D \det U = \pm$ (произведение ведущих элементов).

Знак плюс или минус дается определителем матрицы $P^{-1}$ (или $P$ ) и зависит от того, является число перестановок строк в приведении четным или нечетным. Для треугольных сомножителей имеем $\det L = \det U = 1$ и $\det D = d_1 ... d_n$

2. Определитель матрицы $A$ может быть вычислен разлоразложением по алгебраическим дополнениям i-й строки:

$\det A = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in}$ .

Алгебраическое дополнение $\det A_{ij}$ есть определитель подподматрицы $M_{ij}$ , взятый с нужным знаком:

$A_{ij} = (-1)^{i+j} \det M_{ij}$ .

Подматрица $M_{ij}$ образуется вычеркиванием i-й строки и j-го столбца матрицы $A$ .

3. Правило Крамера: j-й элемент вектора $x = A^{-1} b$ равен $x_j = \frac {\det B_j}{\det A}$ , где

В $B_j$ - вектор $b$ заменяет собой j-й столбец матрицы $A$ .

Пример.

Решение системы

4. Формула для ведущих элементов.

Если матрица $A$ представляется в виде $LDU$ , то левые верхние углы удовлетворяют соотношению

$A_k = L_k D_k U_k$

Для разных $k$ разложения подматриц $A_k$ «согласованы» друг с другом.

Объем параллелепипеда

Связь между определителем и объемом не очевидна, однако мы можем предположить для начала, что все углы прямые, т. е. грани взаимно перпендикулярны, и мы имеем дело с прямоугольным параллелепипедом. Тогда объем его равен просто произведению длин ребер $l_1 l_2 ... l_n$ .

Мы хотим получить ту же самую формулу с помощью определителя. С этой целью вспомним, что ребра параллелепипеда представляются строками матрицы $A$ . В нашем случае эти строки взаимно ортогональны, так что

Величины $l^{2}_{i}$ суть квадраты длин строк матрицы, т. е. квадраты длин ребер, и нули вне диагонали получаются вследствие ортогональности строк. Переходя к определителям, получаем

Извлекая корень, мы и приходим к требуемому соотношению: определитель равняется объему. Знак при $\det A$ будет зависеть от того, образуют ребра правостороннюю систему координат вида $xyz$ или левостороннюю $xyz$ .

Если область не прямоугольна, то объем уже не равен произведению длин ребер. В плоском случае «объем» параллелограмма равен произведению длины основания на высоту $h$ .

Вектор $pb$ длины $h$ есть разность между вектором второй строки $Ob = (a_{21}, a_{22})$ и его проекцией $Op$ на вектор первой строки.

Площадь паралелограмма равна $\det A$ .

Площади квадрата и параллелограмма.

Первый представляет собой единичный квадрат, и его площадь, равна 1. Второй есть параллелограмм с единичными основанием и высотой; его площадь не зависит от «сдвига», даваемого коэффициентом $c$ , и равна 1.

Формула замены переменных в неопределенном интеграле

Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.

Теорема.

Пусть функции $f(x)$ и $\phi(x)$ определены соответственно на промежутках $\Delta_x$ и $\Delta_y$ , причем $\phi(\Delta_t) \subset \Delta_x$ . Если функция $f$ имеет на $\Delta_x$ первообразную $F{x)$ и, следовательно,

(1)

а функция $\phi(x)$ дифференцируема на $\Delta_t$ , то функция $f(\phi(t))\phi^,(t)$ имеет на $\Delta_t$ , первообразную $F(\phi(t))$ и

(2)

Формула (1) называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой $\phi(t) = x$ . Это название объясняется тем, что если формулу (2) записать в виде

то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл ), можно сделать подстановку $x = \phi(t)$ , вычислить интеграл $\int f(x) dx$ и затем вернуться к переменной $t$ , положив $x = \phi(t)$ .

Примеры.

1. Для вычисления интеграла $\int cos ax dx$ естественно сделать подстановку $u = ax$ , тогда

2. Для вычисления интеграла удобно применить подстановку $u = x^3 + a^3$ :

3. При вычислении интегралов вида полезна подстановка $u = \phi(x)$ :

Например,

Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:

Отметим, что формулу (2) бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла $\int f(x) dx$ с помощью соответствующей замены переменного $x = \phi(t)$ свести к вычислению интеграла (если этот интеграл в каком-то смысле «проще» исходного).

В случае, когда функция $\phi$ имеет обратную $\phi^{-1}$ , перейдя в обеих частях формулы (2) к переменной $x$ с помощью подстановки $t = \phi^{-1}(x)$ и поменяв местами стороны равенства, получим

Эта формула называется обычно формулой интегрирования заменой переменной.

Для того чтобы существовала функция $\phi^{-1}$ , обратная $\phi$ , в дополнение к условиям теоремы достаточно, например, потребовать, чтобы на рассматриваемом промежутке $\Delta_t$ функция $\phi$ была строго монотонной. В этом случае, существует однозначная обратная функция $\phi^{-1}$ .

4. Интегралы вида в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно на некотором промежутке, легко сводятся с помощью заме¬ны переменного к табличным.

Действительно, замечая, что , сделаем замену переменной и положим . Тогда и, в силу формулы (2), получим

(перед $t^2$ стоит знак плюс, если а > 0, и знак минус, если а < 0). Интеграл, стоящий в правой части равенства, является табличным. Найдя его по соответствующим формулам и вернувшись от переменной $t$ к переменной $x$ , получим искомый интеграл.

Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида

5. Интеграл можно вычислить с помощью подстановки $x = a sin t$ . Имеем $dx = a cos t dt$ , поэтому

Подставляя это выражение $t = arcsin \frac{x}{a}$ и замечая, что

окончательно будем иметь

Заметим, что для проверки результата, полученного при вычислении неопределенного интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого иптеграла.

Формула замены переменных в определенном интеграле

Теорема.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a'; b']$ , а функция $\phi(t)$ имеет непрерывную производную $\phi'(t)$ на отрезке $[\alpha; \beta]$ , причём все значения $x = \phi(t)$ при $[t \in{\alpha};{\beta}]$ принадлежат отрезку $[a'; b']$ , в том числе $\phi(\alpha) = a$ и $\phi(\beta) = b$ . Тогда имеет место равенство

Замечание.

Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной $x$ не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной $t$ . После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница.

Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной $x$ должны быть указаны пределы изменения именно $x$ (то есть $a$ и $b$ ), в то время как в исходном интеграле по переменной $t$ указаны пределы изменения $t$ (то есть $\alpha$ и $\beta$ ).

Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, - те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся.

Пример.

Вычислим интеграл

Для этого сделаем замену $x = \phi(t) = \sin t$ , откуда $dx = \phi'(t)dt = \cos t dt$ . Кроме того, при $t = 0$ имеем $x = \sin 0 = 0$ , а при $t = \frac{\pi}{2}$ имеем $x = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ . Получаем:

Квадратурные формулы интерполяционного типа

Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов

(3)

где $p(x) > 0$ — заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и $f(x)$ — достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид

(4)

где $x \in[{a};{b}]$ и $c_k$ — числа, $k = 0, 1, ..., n$ .

Получим квадратурные формулы путем замены $f(x)$ интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке $[a, b]$ . Полученные таким образом формулы называются квадратурными формулами интерполяционного типа. Как правило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда $n = 0, 1, 2, p(x) = 1$ .

Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул интерполяционного типа. Пусть на отрезке $[a, b]$ заданы узлы интерполирования $x_k, k = 0, 1, ... n$ . Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены как угодно на $[a, b]$ .

Заменяя в интеграле (3) функцию $f(x)$ интерполяционным многочленом Лагранжа

получим приближенную формулу (4), где

(5)

Таким образом, формула (4) является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу (5).

Формула замены переменных в кратном интеграле

Пусть $F$ — непрерывно дифференцируемое взаимпо-однозпачное отображение открытого множества $G \subset R_{x}^{n}$ в пространство $R_{y}^{n}$ и его якобиан $J_{F}$ не обращается в нуль на множестве $G$ .

Теорема.

Если $E$ — измеримое множество, содержащееся вместе со своим замыканием $\bar{E}$ в открытом множестве $G$ : $E \subset \bar{E} \subset G$ , а функция $f$ непрерывна на множестве $\bar{F(E)}$ , то

(6)

Эта формула равносильна формуле

(7)

Действительно, ограниченная функция одновременно интегрируема или нет как на измеримом множестве, так и на его замыкании, причем в случае интегрируемости интегралы от функции по множеству и по его замыканию совпадают.

В нашем случае функции $f(y)$ и непрерывны соответственно на компактах $\bar{F(E)}$ и $\bar{E}$ (являющихся замыканием измеримых множеств $F(E)$ и $E$ ), следовательно, ограничены и интегрируемы на них.

Таким образом, все входящие в формулы (6) и (7) интегралы существуют, а сами эти формулы равносильны. Эти формулы называются формулами замены переменных в кратном интеграле.

Замена переменных в кратном интеграле часто существенно упрощает его исследование и вычисление. При этом в отличие от однократного интеграла нередко целью замены переменного является не упрощение подынтегральной функции, а переход к более простой области интегрирования даже ценой некоторого усложнения подынтегральной функции.

В качестве примера применения формулы замены переменных в кратном интеграле рассмотрим для двумерного интеграла случай перехода от декартовых координат к полярным.

Рассмотрим плоскость, на которой декартовы координаты обозначены $r$ , $\varphi$ и на ней открытый прямоугольник

При отображении

(8)

прямоугольник $G$ отображается на множество $G$ плоскости с декартовыми координатами $x, y$ , которое представляет собой круг , из которого удален радиус .

Отображение (8) и его якобиан

непрерывно продолжаемы на замкнутый прямоугольник

образом которого при продолженном отображении является замкнутый круг $G$ , на котором отображение (8) уже не является взаимно-однозначным: взаимная однозначность нарушается на границе прямоугольника $G$ — отрезки при $\varphi = 0$ и $\varphi = 2 \pi$ отображаются в один и тот же отрезок , $y = 0$ , а отрезок и вовсе отображается в точку (0, 0). Якобиан продолженного отображения обращается в нуль при $r = 0$ .

Для отображения (8) и непрерывной на круге функции $f(x)(y)$ имеет место формула

Приведем конкретный пример вычисления интеграла по этой формуле:

Сведения об интегралах с бесконечными пределами

Определение.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на бесконечном промежутке $[a, \infty)$ . Несобственным интегралом от функции $f(x)$ на промежутке $[a, \infty)$ называется предел и обозначается

Определение.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на бесконечном промежутке $(-\infty, b)$ . Несобственным интегралом от функции f(x) на промежутке $(-\infty, b)$ называется предел и обозначается

Определение.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на всей числовой оси. Несобственный интеграл от функции $f(x)$ на бесконечном промежутке $(-\infty, +\infty)$ определяется равенством

где $c$ — любое число на оси $Ox$ .

Из определений следует, что сходящиеся несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования являются конечными пределами определенных интегралов с переменными верхним или нижним пределами при стремлении этих пределов к бесконечности.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна и неотрицательна на бесконечном промежутке $[a, \infty)$ . Известно, что интеграл $\int_{a}^{b} f(x) dx$ численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной снизу отрезком $[a, b]$ оси $Ox$ , сверху — кривой $y = f(x)$ , слева и справа — прямыми $x = a$ и $x = b$ . При возрастании $b$ прямая $x = b$ перемещается вправо вдоль оси $Ox$ . Если при этом интеграл $\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ сходится, то его величину принимают за площадь бесконечной трапеции, ограниченной снизу осью $Ox$ , сверху — графиком функции $y = f(x)$ , слева — прямой $x = a$ .