Критерий Фридмана

Материал из MachineLearning.

Критерий Фридмана является непараметрическим критерием, предназначенным для проверки однородности статистических даннных.

Содержание

1 Примеры задач
2 Описание критерия
3 Литература
4 См. также
5 Ссылки

Примеры задач

Пусть на некотором предприятии k подразделений выполняют одну и ту же работу, но на оборудовании различных производителей. Каждому подразделению соответствует выборка, состоящая из рабочих этого подразделения. Каждое значение в выборке - это числовая оценка производительности данного рабочего. Требуется определить, даёт ли использование одного оборудования лучший результат по сравнению с оборудованием других производителей.

Другой пример: предположим, существует k альтернативных агротехнических методов обработки полей. Для каждого такого метода составим выборку из обработанных им полей. Значение в выборке равно урожайности данного поля. Требуется определить, эквивалентны ли эти методы с точки зрения объёма собираемого урожая.

Описание критерия

Дано $kn$ наблюдений $x_{ij}$ , где $1 \le i \le n,\; 1 \le j \le k.$ Через $H_0$ обозначим гипотезу о равенстве средних для каждой из $k$ групп:

$H_0\,:\;\bar{x}_1=\ldots=\bar{x}_k.$

Для каждого $i,$ где $1 \le i \le n,$ упорядочим последовательность $x_{i1}, x_{i2}, \ldots, x_{ik}.$ Ранг элемента $x_{ij}$ внутри такой последовательности обозначим через $r_{ij}.$ Очевидно, $1 \le r_{ij} \le k.$ Статистика критерия имеет вид

$S = \frac{12n}{k(k+1)}\sum_{j=1}^k\left(\frac1n \sum_{i=1}^n r_{ij} - \frac{k+1}2\right).$

Гипотеза $H_0$ принимается, если $S < S_\alpha(n, k).$ Критические значения $S_\alpha(n, k)$ находятся при помощи интерполяции табличных данных.

При $n \ge 13,\: k \ge 20$ применима аппроксимация

$S_\alpha(n, k) = \chi^2_\alpha(k-1)$ .

Литература

Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
Friedman, Milton (December 1937). "The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance". Journal of the American Statistical Association 32 (200): 675–701.