Автокорреляционная функция

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Автокорреляционная функция - это характеристика сигнала, которая помогает находить повторяющиеся участки сигнала или определять несущую частоту сигнала, скрытую из-за наложений шума и колебаний на других частотах. Автокорреляционная функция часто используется в обработке сигналов и анализе временных рядов.

Неформально автокорреляционная функция - это сходство между значениями сигнала как функция от разницы во времени между ними.

Содержание

Определение

На графиках представлена коррелограмма сигнала и собственно сигнал. Коррелограмма проявляет неочевидные периодические составляющие сигнала.
На графиках представлена коррелограмма сигнала и собственно сигнал. Коррелограмма проявляет неочевидные периодические составляющие сигнала.

В статистике автокорреляция случайного процесса описывает корреляцию между значениями процесса в различные моменты времени. Пусть X_t - значение случайного процесса в момент времени t (t может быть вещественным, если процесс непрервыный, или целым, если процесс дискретный). Если X_t имеет среднее значение \mu_t и дисперсию \sigma _t^2, то автокорреляция X_t определяется следующим образом:

R(t,s) = \frac{\operatorname{E}[(X_t - \mu_t)(X_s - \mu_s)]}{\sigma_t\sigma_s} ,

где "E" - это математическое ожидание. Заметим, что это определение не всегда корректно, так как знаменатель дроби может обращаться в нуль (для процессов-констант) или в бесконечность. Если же это выражение корректно, то его значение лежит в интервале [−1, 1], причем 1 оно принимает в случае полного совпадения, а 0 - в случае, если корреляции не наблюдается.

Для дискретного процесса длиной n {X_1, X_2, \dots , X_n} с известными матожиданием и дисперсией автокорреляцию можно рассчитывать по следующей формуле:

\hat{R}(k)=\frac{1}{(n-k) \sigma^2} \sum_{t=1}^{n-k} [X_t-\mu][X_{t+k}-\mu]

для любых положительных целых k и n.

График автокорреляций выборки в зависиости от сдвига называется коррелограммой.

Свойства

  • Фундементальное свойство функции автокорреляции - это симметричность: R(i) = R(−i). В непрерывном случае автокорреляция - это четная функция:
R_f(-\tau) = R_f(\tau)\,
  • Непрервыная функция автокорреляции долстигает максимума в 0, так как для любого сдвига \tau: |R_f(\tau)| \leq R_f(0). Аналогичное утверждение верно и для дискретного случая.
  • Автокорреляция периодической функции - это периодическая функция с тем же периодом.
  • Автокорреляция суммы двух некоррелирующих функций - это сумма автокорреляций этих функций.
  • Автокорреляция континуального белого шума имеет высокий пик (представимый как дельта-функция Дирака) в нуле и равна нулю во всех других точках.

Смотри также

Источники

  • Орлов А.И. Прикладная статистика М.: Издательство «Экзамен», 2004.

Ссылки

  • [1] (Wikipedia)
Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%B2%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F»
Личные инструменты