Гипергеометрическое распределение

Материал из MachineLearning.

**Гипергеометрическое распределение**
Функция вероятности
Функция распределения
Параметры	$N\in 0,1,2,3,...\,$ $D\in 0,1,...,N\,$ $n\in 0,1,...,N\,$
Носитель	$k \in 0,1,...,n\,$
Функция вероятности	${{{D \choose k} {{N-D} \choose {n-k}}}\over {N \choose n}}$
Функция распределения
Математическое ожидание	$nD\over N$
Медиана
Мода	$\left\lfloor \frac{(D+1)(n+1)}{N+2}\right\rfloor$
Дисперсия	$n(D/N)(1-D/N)(N-n)\over (N-1)$
Коэффициент асимметрии	$\frac{(N-2D)(N-1)^\frac{1}{2}(N-2n)}{[nD(N-D)(N-n)]^\frac{1}{2}(N-2)}$
Коэффициент эксцесса	$\left[\frac{N^2(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}\right]\times$ $\times \left[\frac{N(N+1)-6N(N-n)}{D(N-D)}+\frac{3n(N-n)(N+6)}{N^2}-6\right]$
Информационная энтропия
Производящая функция моментов	$\frac{{N-D \choose n}}{{N \choose n}}\,_2F_1(-n,-D;N-D-n+1;e^{t})$
Характеристическая функция	$\frac{{N-D \choose n}}{{N \choose n}}\,_2F_1(-n,-D;N-D-n+1;e^{it})$

Гипергеометрическое распределение — это дискретное вероятностное распределение, которое описывает количество успехов в выборке без возвращений длины $n$ над конечной совокупностью объектов.

	Попали в выборку	Не попали в выборку	Всего
С дефектом (успех)	$k$	$m-k$	$m$
Без дефекта	$n-k$	$N+k-n-m$	$N-m$
Всего	$n$	$N-n$	$N$

Это выборка из $N$ объектов, из которых $m$ дефектных. Гипергеометрическое распределение описывает вероятность того, что именно $k$ дефектных в выборке из $n$ конкретных объектов, взятых из совокупности.

Если случайная величина $X$ распределена гипергеометрически с параметрами $N,\;m,\;n$ , тогда вероятность получить ровно $k$ успехов (дефектных объектов в предыдущем примере) будет следующей:

$f(k;N,m,n)=\frac{C_m^k C_{N-m}^{n-k}}{C_N^n}$ .

Эта вероятность положительна, когда $k$ лежит в промежутке между $\max \{ 0, D+n-N \}$ и $\min\{ n,D \}$ .

Приведенная формула может трактоваться следующим образом: существует $N \choose n$ возможных выборок (без возвращения). Есть $D \choose k$ способов выбрать $k$ бракованных объектов и ${N-D} \choose {n-k}$ способов заполнить остаток выборки объектами без дефектов.

В случае, когда размер популяции является большим по сравнению с размером выборки (т.е., $N$ намного больше, чем $n$ ), гипергеометрическое распределение хорошо аппроксимируется биномиальным распределением с параметрами $n$ (количество испытаний) и $p = D/N$ (вероятность успеха в одном испытании).