Интерполяция полиномами Лагранжа и Ньютона

Материал из MachineLearning.

Содержание

1 Постановка задачи
2 Метод решения задачи
- 2.1 Полином Лагранжа
- 2.2 Полином Ньютона
3 Погрешность интерполирования
4 Выбор узлов интерполяции
5 Пример
6 Рекомендации программисту
7 Выводы
8 Литература
9 Смотри также

Постановка задачи

Пусть задана функция $y = f(x)$ .
Пусть заданы точки $\bf{X} = \{ x_i | i = 1..n \}$ из некоторой области $\bf D$ .
Пусть значения функции $f$ известны только в этих точках.
Точки $\bf{X}$ называют узлами интерполяции.
$\delta x_i = x_i - x_{i-1}$ - шаг интерполяционной сетки.
Задача интерполяции состоит в поиске такой функции $F$ из заданного класса функций, что $F(x_i) = y_i$

Метод решения задачи

Полином Лагранжа

Представим интерполяционную функцию в виде полинома
$P_n(x) = \sum_{i=0}^n y_i Q_{n,i}(x)$
где $Q_{n,i}(x)$ - полиномы степели n вида:
$Q_{n,i}(x) = \prod_{j=0, j\neq i}^{n} \frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)}$
Очевидно, что $Q_{n,i}(x)$ принимает значение 1 в точке $x_i$ и 0 в остальных узлах интерполяции. Следовательно в точке $x_i$ исходный полином принимает значение $y_i$
Таким образом, построенный полином $P_n(x)$ является интерполяционным полиномом для функции $y = f(x)$ на сетке $\bf{X}$ .

Полином Ньютона

Интерполяционный полином в форме Лагранжа не удобен для вычислений тем, что при увеличении числа узлов интерполяции приходится перестраивать весь полином заново.
Перепишем полином Лагранжа в другом виде:
$P_n(x) = P_0(x) + \sum_{i=1}^n{(P_i(x) - P_{i-1}(x))}$
где $P_i(x)$ - полиномы Лагранжа степени i ≤ n.
Пусть $Q_i(x) = P_i(x) - P_{i-1}(x) \qquad(*)$
. Этот полином имеет степень i и обращается в нуль при $x = x_0, x = x_1, ..., x = x_{i-1}{$ .
Поэтому он представим в виде:
$Q_i(x) = A_i(x - x_0)...(x - x_{i-1})$ , где $A_i$ - коэффициент при $x^i$ . Так как $x^i$ не входит в $P_{i-1}(x)$ , то $A_i$ совпадает с коэффициентом при $x^i$ в полиноме $P_i(x)$ . Таким образом из определения $P_i(x)$ получаем:
$A_i = \sum_{k=0}^i\frac{f(x_k)}{w_{k,i}}$
где
$w_{k,i} = (x_k - x_0)...(x_k - x_{k-1})(x_k - x_{k+1})...(x_k - x_i)$
Препишем формулу $\qquad(*)$ в виде
$P_n(x) = P_{n-1} + A_n(x - x_0)...(x - x_{n-1})$
Рекуррентно выражая $P_i(x)$ пролучам окончательную формулу для полинома:
$P_n(x) = A_0 + A_1(x-x_0) + ...+ A_n(x - x_0)...(x - x_{n-1})$
Такое представление полинома удобно для вычисления, потому что увеличение числа узлов на единицу требует добавления только одного слагаемого.

Погрешность интерполирования

Поставим вопрос о том, насколько хорошо интерполяционный полином $P_n(x)$ приближает функцию $f(x)$ на отрезке [a,b].
Рассмотри м остаточный член:
$R_n(x) = f(x) - P_n(x)$ , x ∈ [a, b].
По определению интерполяционного полинома $<br>R_n(x_i) = 0, x_i \in \bf X$
поэтому речь идет об оценке $R_n(x)$ при значениях $x \not= x_i$ .
Пусть $f(x)$ имеет непрерывную (n+1) производную на отрезке [a, b].
Тогда погрешность определяется формулой:
$|R_n(x)| = \frac{f^{n+1}(\varepsilon)}{(n+1)!}w_{n+1}(x)$ ,
где $w_{n+1} = (x - x_0)...(x - x_n)$ ,
$\varepsilon$ - точка из [a, b].
Так как точка $\varepsilon$ наизвестна, то эта формула позволяет только оценить погрешность:
$|R_n(x)| \le \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}|w_{n+1}(x)|$
где $M_{n+1} = \max_{x\in[\alpha, \beta]}|f^{n+1}(x)|$
Из вида множетеля $w_{n+1}$ следует, что оценка имеет смысл только при $x \in [x_0, x_n]$ . Если это не так, то при интерполяции используются полиномы низких степеней (n = 1,2).

Выбор узлов интерполяции

Так как от выбора узлов завист точность интерполяции, то возникает вопрос о том, как их выбирать. С помощью выбора узлов можно минимизировать значение $w_{n+1}$ в оценке погрешности. Эта задача решается с помощью многочлена Чебышева [1]:
$T_{n+1}(x) = \frac{(b - a)}{(2^{2n+1})}cos ((n + 1)arccos \frac{2x - (b + a)}{(b - a)})$
В качестве узлов следут взять корни этого многочлена, то есть точки:
$x_k = \frac{a + b}{2} + \frac{b - a}{2} \cos\frac{(2k + 1)\pi}{2(n + 1)}$

Пример

В качастве примера рассмотрим интерполяцию синуса. Возьмем равномерную решетку x = [-3,-1.5,0,1.5,3];
Интерполяция полиномом Лагранжа:

Ошибка(максимальное отклонение от sin(x) на отрезке):0.1423
Интерполяция полиномом Ньютона:
Ошибка:
Возьмем решетку x с узлами в корнях полинома Чебышева= [-2.8531,-1.7632,0,1.7634,2.8532];
Интерполяция полиномом Лагранжа:

Ошибка: 0.0944
Интерполяция полиномом Ньютона:
Ошибка: