Модель Тригга-Лича

Материал из MachineLearning.

Модель Тригга-Лича применяется в адаптивных методах прогнозирования временных рядов.

Модель Тригга-Лича относится к моделям с адаптивными параметрами адаптациями, то есть, является моделью с повышенной способностью к самообучению.

А. Триггом и А. Личем было предложено модифицировать предсказывающие системы, использующие экспоненциальное сглаживание, посредствои изменения скорости реакции в зависимости от величины контнольного сигнала. В простейшей модели это эквивалентно регулированию параметра сглаживания $\alpha$ . Наиболее очевидный способ заставить систему автоматически реагировать на расхождение прогнозов и фактических данных - это увеличение $\alpha$ с тем, чтобы придать больший вес свежим данным и, таким образом, обеспечить более быстрое приспособление модели к новой ситуации. Как только система приспособилась, необходимо опять уменьшить величину $\alpha$ для фильтрации шума.

Простой способ достижения такой адаптивной скорости состоит в выборе

$\alpha_t=|K_t|$ ,

где $K_t$ - следящий контрольный сигнал.

Рис. 1. Сравнение реакций полиномиальных моделей нулевого порядка Брауна () и Тригга-Лича на ступенчатое изменение уровня ряда,

Рис. 1. Сравнение реакций полиномиальных моделей нулевого порядка Брауна ( $\beta=0,9$ ) и Тригга-Лича на ступенчатое изменение уровня ряда, $\tau=1$

Рис. 2. Сравнение реакций на линейное изменение уровня ряда полиномиальных моделей первого порядка Брауна и Тригга-Лича, $\beta^2=0,9, \; \tau=1$

Рис. 3. Сравнение моделей Брауна и Тригга-Лича, $n=4; \; \beta^n=0,9, \; \tau=1$

Рис. 4. Сравнение реакций простейших моделей Брауна и Тригга-Лича на единичный импульс,

Рис. 4. Сравнение реакций простейших моделей Брауна и Тригга-Лича $(n=1)$ на единичный импульс, $\tau=1$

На рис.1 показано испытание полиномиальной модели нулевого порядка с переменным параметром $\alpha$ при прогнозировании искусственного ряда.

Крестики на рисунке отражают значения членов временного ряда, в котором наблюдается изменение ступенчатого типа. Ряд искусственно генерирован по модели

$x_t=a'_1+\eps_t$ , при $t<t_1$ ;

$x_t=a''_1+\eps_t$ , при $t>t_1$ ;

$a'_1=const$ ;

$a'_1\ne a''_1$ ,

где $\eps_t$ - неавтокоррелирванные случайные нормальные отклонения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией $\sigma_2$ .

Реакция простейшей модели экспоненциального типа с постоянным коэффициентом сглаживания $\alpha=0,1$ отмечена кружками. Пунктирная линия характеризует реакцию подобной же системы, но с переменным $\alpha_t$ . Можно видеть, что система с адаптивным $\alpha$ приспосабливается к ступенчатым изменениям намного быстрее, а после отработки ступеньки размах ее колебаний не больше, чем у обычной системы, поскольку контрольный сигнал, построенный по принципу сглаженной ошибки, остается большим, как правило, только пока прогнозирующая система находится в переходном режиме. Аналогичная модификация возможна и для более сложных моделей. Рассмотрим частный случай обобщенной модели Р.Брауна (модель Брауна) - модель линейного роста ( $n=2$ )

$\hat x_\tau(t)=\hat a_{1,t}+\hat a_{2,t}\tau$ ,

для которой уравнения обновления коэффицинтов будут:

$\hat a_{1,t}=\hat a_{1,t-1}+\hat a_{2,t-1}+(1-\beta^2)\eps_1(t-1)$ ;

$\hat a_{2,t}=\hat a_{2,t-1}+(1-\beta)^2\eps_1(t-1)$ .

Из уравнений видно, что оценка среднего уровня процесса $\hat a_1$ реагирует на ошибку прогноза со скоростью $1-\beta^2$ . В моделях Р.Брауна с $n$ параметрами скорость реакции определяется величиной $1-\beta^n$ , называемой эквивалентной постоянной сглаживания.

В многопараметрической модели Р.Брауна представляется естественным приравнять эквивалентную постоянную сглаживания модулю контрольного сигнала. В линейной модели мы могли бы положить

$1-\beta^2_t=|K_t|$ ,

откуда

$\beta_t=\sqr{1-|K_t|}$ .

Это означало бы, что каждый элемент вектора $h$ как функции от $\beta$ каждый раз претерпевает соответствующие изменения. Однако эксперименты показали, что зависимость всех элементов $h_i$ от контрольного сигнала ухудшает прогноз, делая его неустойчивым. Если же ограничить модификацию вектора $h$ только его первой составляющей $h_1$ , то эксперимент показывает, что во всех случаях такая система приводит к более стабильным результатам.

На рис. 2 показан ряд с линейной тенденцией роста, на который наложены те же случайные данные, что и на рис. 1. В этом примере среднеквадратичное отклонение шума взято пропорциональным среднему уровню ряда. Реакция, соответствующая прогнозу на один шаг вперед обычной модели линейного роста с эквивалентной постоянной $1-\beta^2=0,1$ , отмечена кружками. Прогнозы аналогичной модели, но с $h_1=|K_t|$ показаны пунктиром.

На рис. 3 линия, обозначенная крестиками, показывает те же случайные данные, но с синусоидальным колебанием с периодом 52 (52 недели в году).

Через 15 интервалов возникает ступенчатое изменение и отмеченная кружками линия показывает реакцию модели

$\hat x_\tau(t)=\hat a_{1,t}+\hat a_{2,t}\tau+\hat a_{3,t}sin{\frac{2\pi\tau}{52}}+\hat a_{4,t}cos{\frac{2\pi\tau}{52}}$ ,

при $1-\beta^4=0,1, \; \tau=1$ .

Пунктирная линия обозначает реакцию той же модели, когда $h_1=|K_t|$ .

Практическое моделирование доло результаты, похожие на представленные на рис. 1-3, т.е. приравнивание $h_1$ модулю следящего контрольного сигнала дает значительно большую скорость приспособления к новому характеру ряда.

Ясно, что не во всех реально возникающих ситуациях модели с адаптивным параметром $\alpha$ дают лучшие прогнозы по сравнению с обычными адаптивными системами. На рис. 4 показаны сравнительные реакции этих моделей на большой одиночный импульс. Система с адаптивной скоростью испытывает большее возмущение от этой случайной помехи. М.Л. Шоун предлагает решать проблему чрезмерной реакции на большой одиночный импульс путем задержки использования контрольного сигнала на один шаг. Если взять в качестве первого элемента вектора $h$ для данного момента $t$ модуль контрольного сигнала, подсчитанный в предыдущий момент $t-1$ , то отмеченный недостаток преодолевается. Реакция на ступеньку или на линейный тренд станет при этом медленнее.

Метод приравнивания $h_1=|K_t|$ прост и эффективен. Особенно он удобен там, где прогнозы делаются на компьютерах для большого числа рядов. Если динамика ряда не изменяется, то шум фильтруется столь же эффективно, как и обычным методом с постоянным параметром $\alpha$ . Когда такие возмущения все же случаются, адаптация происходит более быстро.

Этот метод особенно ценен для моделирования рядов с короткой историей или на первоначальном этапе построения модели. Чтобы им воспользоваться, достаточно провести грубую оценку коэффициентов прогнозирующей модели. Если ошибки прогнозов по этой модели велики, то у контрольного сигнала проявляется тенденция к быстрому абсолютному росту и система приспосабливается с соответствующей скоростью. Этот метод позволяет обойти проблему определения оптимального значения $\alpha$ . Однако возникает задача выбора наилучшего значения $\gamma$ для подсчета контрольного сигнала.

В приведенных выше примерах моделирования величина $\gamma=0,1$ . Если необходима большая осторожность по отношению к скорости процесса адаптации, величину $\gamma$ можно уменьшить и взять $\gamma=0,05$ . После того как $\gamma$ задана, модель работает автоматически. Иногда все же необходимо вмещательство для корректировки прогнозов, даваемых системой с адаптивной скоростью реакции, так как нельзя ожидать, что система справится с любыми изменениями в структуре ряда. Кроме того, исследователь может располагать ценной дополнительной информацией.

Моделирование реакции простейшей модели на ступенчатые изменения показало, что хотя модель довольно быстро устанавливается на новом среднем уровне, контрольный сигнал еще некоторое время остается большим. Это мешает системе отфильтровать случайный шум, что особенно проявляется, когда константа $\gamma$ , использованная для получения сглаженной ошибки и среднего абсолютного отклонения, мала, скажем, $0,05$ . Большая величина $\gamma$ увеличивает дисперсию экспоненциальной средней ошибки, до некоторой степени ухудшая возможности достижения цели, ради которой используется адаптивная скорость реакции.

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:Коликова Катя

Преподаватель: Участник:Vokov

Срок: 31 декабря 2009

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.