Моменты случайной величины

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Момент случайной величины — числовая характеристика распределения данной случайной величины.

Содержание

Определения

Если дана случайная величина \displaystyle X, определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

  • \displaystyle k-м начальным моментом случайной величины \displaystyle X, где k \in \mathbb{N}, называется величина
\nu_k = \mathbb{E}\left[X^k\right],
если математическое ожидание \mathbb{E}[*] в правой части этого равенства определено;
  • \displaystyle k-м центральным моментом случайной величины \displaystyle X называется величина
\mu_k = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^k\right],
  • \displaystyle k-м факториальным моментом случайной величины \displaystyle X называется величина
\mu_k = \mathbb{E}\left[X(X-1)...(X-k+1)\right],
если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.

Замечания

  • Если определены моменты \displaystyle k-го порядка, то определены и все моменты низших порядков 1 \le k' < k.
  • В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например:
\displaystyle \mu_1 = 0,
\displaystyle \mu_2 = \nu_2-\nu_1^2,
\displaystyle \mu_3 = \nu_3-3\nu_1 \nu_2 + 2 \nu_1^3,
\displaystyle \mu_4 = \nu_4 - 4 \nu_1 \nu_3 + 6 \nu_1^2 \nu_2 - 3 \nu_1^4, и т. д.

Геометрический смысл некоторых моментов

  • \displaystyle \nu_1 равняется математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.
  • \displaystyle \mu_2 равняется дисперсии распределения \displaystyle (\mu_2=\sigma^2) и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
  • \displaystyle \mu_3, будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение
\frac{\mu_3}{\sigma^3}
называется коэффициентом асимметрии.
  • \displaystyle \mu_4 контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. Величина
\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3
называется коэффициентом эксцесса распределения \displaystyle X.

Вычисление моментов

\nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^k\, f(x)\, dx,

если \nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} |x|^k\, f(x)\, dx<{+\infty} ,

а для дискретного распределения с функцией вероятности \displaystyle p(x):
\nu_k = \sum\limits_{x} x^k\, p(x),

если \nu_k = \sum\limits_{x} |x|^k\, p(x)<{+\infty}.

\nu_k = \left.-i^k \frac{d^k}{dt^k} \phi(t)\right\vert_{t=0}.
  • Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов \displaystyle M(t), то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:
\nu_k = \left.\frac{d^k}{dt^k}M(t)\right\vert_{t=0}.
Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B»
Личные инструменты