Стандартизация задач с помощью замены переменных

Материал из MachineLearning.

Содержание 1 Введение 2 Формула замены переменных в неопределенном интеграле 3 Формула замены переменных в определенном интеграле 3.1 Квадратурные формулы интерполяционного типа 4 Формула замены переменных в кратном интеграле 5 Сведения об интегралах с бесконечными пределами 6 Литература 7 См. также

Введение

Задача интегрирования функций значительно сложнее задачи дифференцирования. Здесь отсутствуют правила интегрирования произведения и частного двух функций, сложной и обратной функций. Имеются лишь некоторый приемы, позволяющие интегрировать отдельные классы функций. Методы замены переменных позволяют свести исходный интеграл к более простому с помощью перехода от старой переменной интегрирования к новой.

Формула замены переменных в неопределенном интеграле

Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.

Теорема.

Пусть функции и определены соответственно на промежутках и , причем . Если функция имеет на первообразную и, следовательно,

(1)

а функция дифференцируема на , то функция имеет на , первообразную и

(2)

Формула (1) называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой . Это название объясняется тем, что если формулу (2) записать в виде

то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл ), можно сделать подстановку , вычислить интеграл и затем вернуться к переменной , положив .

Примеры.

1. Для вычисления интеграла естественно сделать подстановку , тогда

2. Для вычисления интеграла удобно применить подстановку :

3. При вычислении интегралов вида полезна подстановка :

Например,

Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:

Отметим, что формулу (2) бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла с помощью соответствующей замены переменного свести к вычислению интеграла (если этот интеграл в каком-то смысле «проще» исходного).

В случае, когда функция имеет обратную , перейдя в обеих частях формулы (2) к переменной с помощью подстановки и поменяв местами стороны равенства, получим

Эта формула называется обычно формулой интегрирования заменой переменной.

Для того чтобы существовала функция , обратная , в дополнение к условиям теоремы достаточно, например, потребовать, чтобы на рассматриваемом промежутке функция была строго монотонной. В этом случае, существует однозначная обратная функция .

4. Интегралы вида в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно на некотором промежутке, легко сводятся с помощью заме¬ны переменного к табличным.

Действительно, замечая, что , сделаем замену переменной и положим . Тогда и, в силу формулы (2), получим

(перед стоит знак плюс, если а > 0, и знак минус, если а < 0). Интеграл, стоящий в правой части равенства, является табличным. Найдя его по соответствующим формулам и вернувшись от переменной к переменной , получим искомый интеграл.

Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида

5. Интеграл можно вычислить с помощью подстановки . Имеем , поэтому

Подставляя это выражение и замечая, что

окончательно будем иметь

Заметим, что для проверки результата, полученного при вычислении неопределенного интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого иптеграла.

Формула замены переменных в определенном интеграле

Теорема.

Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция имеет непрерывную производную на отрезке , причём все значения при принадлежат отрезку , в том числе и . Тогда имеет место равенство

Замечание.

Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной . После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница.

Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной должны быть указаны пределы изменения именно (то есть и ), в то время как в исходном интеграле по переменной указаны пределы изменения (то есть и ).

Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, - те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся.

Пример.

Вычислим интеграл

Для этого сделаем замену , откуда . Кроме того, при имеем , а при имеем . Получаем:

Квадратурные формулы интерполяционного типа

Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов

(3)

где — заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и — достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид

(4)

где и — числа, .

Получим квадратурные формулы путем замены интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке . Полученные таким образом формулы называются квадратурными формулами интерполяционного типа. Как правило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда .

Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул интерполяционного типа. Пусть на отрезке заданы узлы интерполирования . Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены как угодно на .

Заменяя в интеграле (3) функцию интерполяционным многочленом Лагранжа

получим приближенную формулу (4), где

(5)

Таким образом, формула (4) является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу (5).

Формула замены переменных в кратном интеграле

Пусть — непрерывно дифференцируемое взаимпо-однозпачное отображение открытого множества в пространство и его якобиан не обращается в нуль на множестве .

Теорема.

Если — измеримое множество, содержащееся вместе со своим замыканием в открытом множестве : , а функция непрерывна на множестве , то

(6)

Эта формула равносильна формуле

(7)

Действительно, ограниченная функция одновременно интегрируема или нет как на измеримом множестве, так и на его замыкании, причем в случае интегрируемости интегралы от функции по множеству и по его замыканию совпадают.

В нашем случае функции и непрерывны соответственно на компактах и (являющихся замыканием измеримых множеств и ), следовательно, ограничены и интегрируемы на них.

Таким образом, все входящие в формулы (6) и (7) интегралы существуют, а сами эти формулы равносильны. Эти формулы называются формулами замены переменных в кратном интеграле.

Замена переменных в кратном интеграле часто существенно упрощает его исследование и вычисление. При этом в отличие от однократного интеграла нередко целью замены переменного является не упрощение подынтегральной функции, а переход к более простой области интегрирования даже ценой некоторого усложнения подынтегральной функции.

В качестве примера применения формулы замены переменных в кратном интеграле рассмотрим для двумерного интеграла случай перехода от декартовых координат к полярным.

Рассмотрим плоскость, на которой декартовы координаты обозначены , и на ней открытый прямоугольник

При отображении

(8)

прямоугольник отображается на множество плоскости с декартовыми координатами , которое представляет собой круг , из которого удален радиус .

Отображение (8) и его якобиан

непрерывно продолжаемы на замкнутый прямоугольник

образом которого при продолженном отображении является замкнутый круг , на котором отображение (8) уже не является взаимно-однозначным: взаимная однозначность нарушается на границе прямоугольника — отрезки при и отображаются в один и тот же отрезок , , а отрезок и вовсе отображается в точку (0, 0). Якобиан продолженного отображения обращается в нуль при .

Для отображения (8) и непрерывной на круге функции имеет место формула

Приведем конкретный пример вычисления интеграла по этой формуле:

Сведения об интегралах с бесконечными пределами

Определение.

Пусть функция непрерывна на бесконечном промежутке . Несобственным интегралом от функции на промежутке называется предел и обозначается

Определение.

Пусть функция непрерывна на бесконечном промежутке . Несобственным интегралом от функции f(x) на промежутке называется предел и обозначается

Определение.

Пусть функция непрерывна на всей числовой оси. Несобственный интеграл от функции на бесконечном промежутке определяется равенством

где — любое число на оси .

Из определений следует, что сходящиеся несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования являются конечными пределами определенных интегралов с переменными верхним или нижним пределами при стремлении этих пределов к бесконечности.

Пусть функция непрерывна и неотрицательна на бесконечном промежутке . Известно, что интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной снизу отрезком оси , сверху — кривой , слева и справа — прямыми и . При возрастании прямая перемещается вправо вдоль оси . Если при этом интеграл сходится, то его величину принимают за площадь бесконечной трапеции, ограниченной снизу осью , сверху — графиком функции , слева — прямой .

Литература

1. Л.Д. Кудрявцев.  Курс математического анализа в 3 томах.
2. З.И. Гурова, С.Н. Каролинская, А.П. Осипова.  Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами.
3. А.А. Самарский, А.В. Гулин.  Численные методы М.: Наука, 1989.
4. http://de.ifmo.ru/bk_netra/page.php?index=42&layer=1&tutindex=21#2
5. http://sesia5.ru/vmat/gl5/21.html

См. также

• Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008