Автокорреляционная функция

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
-
'''Автокорреляционная функция'''
+
'''Автокорреляционная функция''' - это характеристика сигнала, которая помогает находить повторяющиеся участки сигнала или определять [[несущая частота|несущую частоту]] сигнала, скрытую из-за наложений шума и колебаний на других частотах. Автокорреляционная функция часто используется в [[обраотка сигалов|обработке сигналов]] и анализе [[временной ряд|временных рядов]].
-
В обработке сигналов автокорреляционная функция '''(АКФ)''' определяется [[интегралом]]:
+
Неформально автокорреляционная функция - это сходство между значениями сигнала как функция от разницы во времени между ними.
-
:<tex>\Psi (t) = \int f(t) f(t-\tau) dt</tex>
+
=== Определение ===
 +
В [[Статистика|статистике]] автокорреляция [[Случайный процесс|случайного процесса]] описывает [[корреляция|корреляцию]] между значениями процесса в различные моменты времени. Пусть <tex>X_t</tex> - значение случайного процесса в момент времени <tex>t</tex> (<tex>t</tex> может быть вещественным, если процесс непрервыный, или целым, если процесс дискретный). Если <tex>X_t</tex> имеет среднее значение <tex>\mu_t</tex> и дисперсию <tex>\omega _t^2</tex>, то автокорреляция <tex>X_t</tex> определяется следующим образом:
-
и показывает связь [[сигнала]] (функции <tex>f(t)</tex>) с копией самого себя, смещённого на величину <tex>\tau</tex>.
+
<tex>
 +
R(t,s) = \frac{\operatorname{E}[(X_t - \mu_t)(X_s - \mu_s)]}{\sigma_t\sigma_s}
 +
</tex>,
 +
 +
где "E" - это [[математическое ожидание]]. Заметим, что это определение не всегда корректно, так как знаменятель дроби может обращаться в нуль (для процессов-констант) или в бесконечность. Если же это выражение корректно, то его значение лежит в интервале [&minus;1,&nbsp;1], причем 1 оно принимает в случае полного совпадения, а &minus;1 - в случае, если корреляции не наблюдается.
-
В теории [[Случайный процесс|случайных процессов]] '''АКФ''' является корреляционным моментом двух значений одной случайной функции <tex>X(t)</tex>:
+
Для дискретного процесса длиной ''n'' <tex>{X_1, X_2, \dots , X_n}</tex> с известными матожиданием и дисперсией автокорреляцию можно рассчитывать по следующей формуле:
-
:<tex>K(t_1, t_2) = M \biggl{ [X(t_1) - \overline{x}(t_1)]\biggr} </tex>,
+
<tex>
 +
\hat{R}(k)=\frac{1}{(n-k) \sigma^2} \sum_{t=1}^{n-k} [X_t-\mu][X_{t+k}-\mu]
 +
</tex>
-
где <tex>\overline{x}(t) = M[X(t)]</tex> - [[математическое ожидание]].
+
для любых положительных целых ''k'' и ''n''.
-
График автокорреляционной функции можно получить, отложив по оси ординат коэффициент корреляции двух функций (базовой и функции сдвинутой на величину <tex>\tau</tex>) а по оси абсцисс величину <tex>\tau</tex>. Если исходная функция строго периодическая, то на графике автокорреляционной функции тоже будет строго периодическая функция. Таким образом из этого графика можно судить о периодичности базовой функции, а следовательно и о её частотных характеристиках. Это применяется для анализа сложных колебаний, например электроэнцефалограммы человека.
+
График автокорреляций выборки в зависиости от сдвига называется [[Каррелограмма||каррелограммой]].
-
 
+
-
{{UnderConstruction|[[Участник:Argunov|Argunov]] 23:59, 8 января 2009 (MSK)}}
+

Версия 14:19, 10 января 2009

Автокорреляционная функция - это характеристика сигнала, которая помогает находить повторяющиеся участки сигнала или определять несущую частоту сигнала, скрытую из-за наложений шума и колебаний на других частотах. Автокорреляционная функция часто используется в обработке сигналов и анализе временных рядов.

Неформально автокорреляционная функция - это сходство между значениями сигнала как функция от разницы во времени между ними.

Определение

В статистике автокорреляция случайного процесса описывает корреляцию между значениями процесса в различные моменты времени. Пусть X_t - значение случайного процесса в момент времени t (t может быть вещественным, если процесс непрервыный, или целым, если процесс дискретный). Если X_t имеет среднее значение \mu_t и дисперсию \omega _t^2, то автокорреляция X_t определяется следующим образом:

R(t,s) = \frac{\operatorname{E}[(X_t - \mu_t)(X_s - \mu_s)]}{\sigma_t\sigma_s} ,

где "E" - это математическое ожидание. Заметим, что это определение не всегда корректно, так как знаменятель дроби может обращаться в нуль (для процессов-констант) или в бесконечность. Если же это выражение корректно, то его значение лежит в интервале [−1, 1], причем 1 оно принимает в случае полного совпадения, а −1 - в случае, если корреляции не наблюдается.

Для дискретного процесса длиной n {X_1, X_2, \dots , X_n} с известными матожиданием и дисперсией автокорреляцию можно рассчитывать по следующей формуле:

\hat{R}(k)=\frac{1}{(n-k) \sigma^2} \sum_{t=1}^{n-k} [X_t-\mu][X_{t+k}-\mu]

для любых положительных целых k и n.

График автокорреляций выборки в зависиости от сдвига называется |каррелограммой.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%B2%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F»
Личные инструменты