Адаптивные методы прогнозирования временных рядов

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 15:12, 31 января 2010

Адаптивные методы прогнозирования временных рядов представляют из себя методы, цель которых заключается в построении самокорректирующихся (самонастраивающихся) экономико-математических моделей, которые способны отражать изменяющиеся во времени условия, учитывать информационную ценность различных членов временной последовательности и давать достаточно точные оценки будущих членов данного ряда. Такие модели предназначаются прежде всего для краткосрочного прогнозирования.

Процесс адаптации

Последовательность процесса адаптации в основном выглядит следующим образом. Пусть модель находится в некотором исходном состоянии (т.е. определены текущие значения ее параметров) и по ней делается прогноз. Выжидаем, пока истечет одна единица времени (шаг моделирования), и анализируем, насколько далек результат, полученный по модели, от фактического значения ряда. Ошибка прогнозирования через обратную связь поступает на вход системы и используется моделью в соответствии с ее логикой для перехода из одного состояния в другое с целью большего согласования своего поведения с динамикой ряда. На изменения ряда модель должна отвечать "компенсирующими" изменениями. Затем делается прогноз на следующий момент времени, и весь процесс повторяется.

Предполагаем, что задан временной ряд: $x_1,x_2,\ldots, x_n$ , где $x_t$ - значение временного ряда в момент времени $t$ . $\hat{x}_{\tau}(t)$ - прогноз значения временного ряда в момент времени $t+\tau$ , сделанное в момент времени $t$ .

Простейшие адаптивные модели

Экспоненциальное сглаживание, Модель Брауна

Предполагается, что ряд генерируется моделью

$x_t = a_{1, t}+\eps_t$ ,

где $a_{1, t}$ - варьирующий во времени средний уровень ряда, $\eps_t$ - белый шум

Прогноз временного ряда получается по формуле:

$\hat{x}_{\tau}(t) = S_t$ ,

где $S_t$ -значение экспоненциальной средней в момент времени $t$ , которое вычисляется по формуле:

$S_t = \alpha x_t+(1-\alpha S_{t-1}$ , $\alpha = const, 0<\alpha<1$ - параметр сглаживания

Главное достоинство такой прогнозной модели состоит в том, что она способна последовательно адаптироваться к новому уровню процесса без значительного реагирования на случайные отклонения.

Недостаток: экспоненциальная средняя дает систематическую ошибку, когда временной ряд имеет тенденцию линейного роста

Модели линейного роста

Предполагаем, что прогноз может быть получен по уравнению:

$\hat{x}_{\tau}(t) = \hat{a}_{1, t}+\tau \hat{a}_{2, t}$ ,

где $\hat{a}_{1, t}, \hat{a}_{2, t}$ - текущие оценки коэффициентов адаптивного полинома первого порядка.

В разных моделях эти коэффициенты вычисляются по-разному.

Модель Хольта

$\hat{a}_{1, t} = \alpha_1 x_t+(1-\alpha_1)(\hat{a}_{1, t-1}+\hat{a}_{2, t-1});$

$\hat{a}_{2, t} = \alpha_2 (\hat{a}_{1, t}-\hat{a}_{1, t-1})+(1-\alpha_2)\hat{a}_{2, t-1},$

где $0<\alpha_1, \alpha_2<1$ - параметры адаптации

Модель линейного роста Брауна - это частный случай модели Хольта

$\hat{a}_{1, t} = \hat{a}_{1, t-1}+\hat{a}_{2, t-1}+(1-\beta^2)e_t$ ;

$\hat{a}_{2, t} = \hat{a}_{2, t-1}+(1-\beta^2)e_t$ ,

где $e_t = x_t-\hat{x}_1(t-1)$ - ошибка прогноза, $0<\beta<1$ - коэффициент дисконтирования, характеризующий обесценивание данных наблюдения за единицу времени.

Модель прогнозирования Дж.Бокса и Г.Дженкинса - в модель Хольта включается разность ошибок

$\hat{a}_{1, t} = \alpha_1 x_t+(1-\alpha_1)(\hat{a}_{1, t-1}+\hat{a}_{2, t-1})+\alpha_3(e_t-e_{t-1})$

$\hat{a}_{2, t} = \alpha_2 (\hat{a}_{1, t}-\hat{a}_{1, t-1})+(1-\alpha_2)\hat{a}_{2, t-1}$

Данная модель не дает преимуществ перед моделью Хольта, так как коэффициент $\alpha_3$ часто оказывается близким к нулю.

Сезонные модели

Модель Хольта-Уинтерса — мультипликативный тренд и сезонность.
Модель Тейла-Вейджа — аддитивный тренд и сезонность.

Другие модели

Анализ адекватности адаптивных моделей, скользящий контрольный сигнал.
Адаптация параметров адаптации. Модель Тригга-Лича.
Обнаружение структурных изменений. Критерий Чоу.
Адаптивная селекция моделей прогнозирования.
Адаптивная композиция моделей прогнозирования.

Литература

Лукашин Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. — М.: Финансы и статистика, 2003. — 416 с.

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:Евгения Одинокова

Преподаватель: Участник:Vokov

Срок: 1 февраля2009

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%B4%D0%B0%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D0%BD%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D0%B2»

Категории: Непроверенные учебные задания | Прогнозирование временных рядов

@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 Последовательность процесса адаптации в основном выглядит следующим образом. Пусть модель находится в некотором исходном состоянии (т.е. определены текущие значения ее параметров) и по ней делается прогноз. Выжидаем, пока истечет одна единица времени (шаг моделирования), и анализируем, насколько далек результат, полученный по модели, от фактического значения ряда. Ошибка прогнозирования через обратную связь поступает на вход системы и используется моделью в соответствии с ее логикой для перехода из одного состояния в другое с целью большего согласования своего поведения с динамикой ряда. На изменения ряда модель должна отвечать "компенсирующими" изменениями. Затем делается прогноз на следующий момент времени, и весь процесс повторяется.
-Предполагаем, что задан временной ряд: <tex>x_1,x_2,\ldots, x_n</tex>, где <tex>x_t</tex> - значение временного ряда в момент времени <tex>t</tex>
+Предполагаем, что задан временной ряд: <tex>x_1,x_2,\ldots, x_n</tex>, где <tex>x_t</tex> - значение временного ряда в момент времени <tex>t</tex>. <tex>\hat{x}_{\tau}(t)</tex> - прогноз значения временного ряда в момент времени <tex>t+\tau</tex>, сделанное в момент времени <tex>t</tex>.
 ==Простейшие адаптивные модели==
-''[[Экспоненциальное сглаживание]]''
+===''[[Экспоненциальное сглаживание]]'', Модель Брауна===
+Предполагается, что ряд генерируется моделью
+::<tex>x_t = a_{1, t}+\eps_t</tex>,
+::где <tex>a_{1, t}</tex> - варьирующий во времени средний уровень ряда, <tex>\eps_t</tex> - [[белый шум]]
 Прогноз временного ряда получается по формуле:
-::<tex>x_t = S_t</tex>,
+::<tex>\hat{x}_{\tau}(t) = S_t</tex>,
 ::где <tex>S_t</tex>-значение экспоненциальной средней в момент времени <tex>t</tex>, которое вычисляется по формуле:
 ::<tex>S_t = \alpha x_t+(1-\alpha S_{t-1}</tex>, <tex>\alpha = const, 0<\alpha<1</tex> - параметр сглаживания
@@ Строка 15: / Строка 19: @@
 Главное достоинство такой прогнозной модели состоит в том, что она способна последовательно адаптироваться к новому уровню процесса без значительного реагирования на случайные отклонения.
-==Другие модели==
+Недостаток: экспоненциальная средняя дает систематическую ошибку, когда временной ряд имеет тенденцию линейного роста
-* [[Модель Хольта]] — линейный тренд без сезонности.
+===Модели линейного роста===
+Предполагаем, что прогноз может быть получен по уравнению:
+::<tex>\hat{x}_{\tau}(t) = \hat{a}_{1, t}+\tau \hat{a}_{2, t}</tex>,
+::где <tex>\hat{a}_{1, t}, \hat{a}_{2, t}</tex> - текущие оценки коэффициентов адаптивного полинома первого порядка.
+В разных моделях эти коэффициенты вычисляются по-разному.
+* [[Модель Хольта]]
+::<tex>\hat{a}_{1, t} = \alpha_1 x_t+(1-\alpha_1)(\hat{a}_{1, t-1}+\hat{a}_{2, t-1});</tex>
+::<tex>\hat{a}_{2, t} = \alpha_2 (\hat{a}_{1, t}-\hat{a}_{1, t-1})+(1-\alpha_2)\hat{a}_{2, t-1},</tex>
+::где <tex>0<\alpha_1, \alpha_2<1</tex> - параметры адаптации
+* Модель линейного роста Брауна - это частный случай модели Хольта
+::<tex>\hat{a}_{1, t} = \hat{a}_{1, t-1}+\hat{a}_{2, t-1}+(1-\beta^2)e_t</tex>;
+::<tex>\hat{a}_{2, t} = \hat{a}_{2, t-1}+(1-\beta^2)e_t</tex>,
+::где <tex>e_t = x_t-\hat{x}_1(t-1)</tex> - ошибка прогноза, <tex>0<\beta<1</tex> - коэффициент дисконтирования, характеризующий обесценивание данных наблюдения за единицу времени.
+* Модель прогнозирования Дж.Бокса и Г.Дженкинса - в модель Хольта включается разность ошибок
+::<tex>\hat{a}_{1, t} = \alpha_1 x_t+(1-\alpha_1)(\hat{a}_{1, t-1}+\hat{a}_{2, t-1})+\alpha_3(e_t-e_{t-1})</tex>
+::<tex>\hat{a}_{2, t} = \alpha_2 (\hat{a}_{1, t}-\hat{a}_{1, t-1})+(1-\alpha_2)\hat{a}_{2, t-1}</tex>
+Данная модель не дает преимуществ перед моделью Хольта, так как коэффициент <tex>\alpha_3</tex> часто оказывается близким к нулю.
+===Сезонные модели===
 * [[Модель Хольта-Уинтерса]] — мультипликативный тренд и сезонность.
 * [[Модель Тейла-Вейджа]] — аддитивный тренд и сезонность.
+==Другие модели==
 * Анализ адекватности адаптивных моделей, [[скользящий контрольный сигнал]].
 * [[Адаптация параметров адаптации]]. [[Модель Тригга-Лича]].
@@ Строка 25: / Строка 52: @@
 * [[Адаптивная композиция моделей прогнозирования]].
+== Литература ==
+# ''Лукашин Ю. П.'' Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. — М.:&nbsp;Финансы и статистика, 2003. — 416&nbsp;с.
 {{Задание|Евгения Одинокова|Vokov|1 февраля2009}}
 [[Категория:Прогнозирование временных рядов]]

Адаптивные методы прогнозирования временных рядов

Материал из MachineLearning.

Версия 15:12, 31 января 2010

Содержание

Процесс адаптации

Простейшие адаптивные модели

Экспоненциальное сглаживание, Модель Брауна

Модели линейного роста

Сезонные модели

Другие модели

Литература

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты