Аппроксимация Лапласа (пример)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Смотри также)
 
(143 промежуточные версии не показаны)
Строка 1: Строка 1:
-
'''Аппроксимация Лапласа''' - простой, но широко используемый способ нахождения нормального (Гауссово) распределения для апроксимации заданой плотности вероятности.
+
[[Аппроксимация Лапласа]] - способ оценки параметров нормального распределения при аппроксимации заданной плотности вероятности.
-
==Сэмплирование==
 
-
'''Сэмплирование''' – процесс выбора подмножества наблюдаемых величин из данного множества, для дальнейшего его анализа.
 
-
Одно из основных приминений методов сэмплирования заключается в оценке мат. ожидания сложных вероятностных распределений: <tex>E[f]=\int f(z)p(z) dz</tex>, для которых тяжело делать выборку непосредственно из распределения ''p(z)''. Однако, можно подсчитать значение ''p(z)'' в любой точке '''z'''. Один из наиболее простых методов подсчета мат. ожидаия – разбить ось z на равномерную сетку и подсчитать интеграл как сумму <tex>E[f]</tex> ≅<tex>\sum_{l=1}^{L} f(z^{(l)})p(z^{(l)}) dz</tex>. Существует несколько методов сэмплирования для создания подходящей выборки длинны ''L'' ???.
 
==Постановка задачи==
==Постановка задачи==
Задана выборка — множество <tex>X^N=\{{x}_1,\ldots,{x}_N|x\in\R^M\}</tex> значений свободных переменных и множество <tex>\{y_1,\ldots, y_N| y\in\R\}</tex> соответствующих им значений зависимой переменной.
Задана выборка — множество <tex>X^N=\{{x}_1,\ldots,{x}_N|x\in\R^M\}</tex> значений свободных переменных и множество <tex>\{y_1,\ldots, y_N| y\in\R\}</tex> соответствующих им значений зависимой переменной.
-
Необходимо для выбранной регрессионной модели <tex>f(\mathbf{w},\mathbf{x})</tex>показать зависимость среднеквадратичной ошибки от значений параметров модели: <tex>SSE=SSE(w)</tex>; построить график и сделать апроксимацию Лапласа для него; используя метрику Кульбака - Лейблера, найти расстояния между получиными зависимостями.
+
Необходимо для выбранной регрессионной модели <tex>f(w,x)</tex>:
 +
 
 +
'''3-1''' показать зависимость среднеквадратичной ошибки от значений параметров модели: <tex>SSE=SSE(w)</tex>;
 +
 
 +
'''3-2''' построить график и сделать аппроксимацию Лапласа для зависимости <tex>SSE=SSE(w)</tex>;
 +
 
 +
'''3-3''' найти расстояния между полученными зависимостями, используя [http://en.wikipedia.org/wiki/Kullback%E2%80%93Leibler_divergence расстояние Кульбака - Лейблера].
==Описание алгоритма==
==Описание алгоритма==
 +
 +
При восстановлении регрессии рассматривалась следующая гипотеза порождения данных:
 +
<center><tex>y=f(x,w)+\epsilon</tex>, где</center>
 +
<center><tex>\epsilon\propto N(0,\sigma^2)</tex></center>
 +
В таком случае, при фиксированной модели ''f'' плотность вероятности появления данных равняется<ref>Стрижов В.В., Крымова Е.А. Методы выбора регрессионных моделей. М.: ВЦ РАН, 2010. 60 с., стр. 41 </ref>:
 +
<center><tex>p(y|x,w)=\frac{1}{Z_D}exp(-E_D)</tex>, где</center>
 +
<tex>E_D</tex> - это функция регрессионных невязок, т.е. <tex>SSE</tex>;
 +
 +
<tex>Z_D</tex> - нормировачный коэффициент.
 +
 +
'''3-1'''. В заданной модели ''f'', используя [[метод наименьших квадратов]], находим оптимальное значение вектора параметров <tex>\mathcal w_{opt}</tex>. Далее, фиксируем все параметры выбранной регрессионной модели (для определенности зададим им оптимальные значения) кроме одного (пусть этот незафиксированный параметр будет <tex>w_1</tex>). После чего, варьируя значение <tex>w_1</tex>, строим искомую зависимость <tex>SSE=SSE(w_1)</tex> и график <tex>p(y|x,w_1)</tex>. Таким образом построена зависимость от одного параметра <tex>w_1</tex>.
 +
Аналогично действуя, строится зависимость от большего количества параметров.
 +
 +
'''3-2'''. При аппроксимации Лапласа, полученную в пункте 3-1 функцию <tex>p(y|x,w_1)</tex> приближаем функцией многомерного нормального распределения <tex> N(w_{otp},A)</tex>. Воспользуемся нелинейной регрессионной моделью:
 +
<center><tex> p \propto exp((w - w_{otp})^T A^{-1} (w-w_{otp})) </tex></center>
 +
 +
Другими словами, зная из пункта 3-1 значение <tex>p(D|w)</tex> (т.е. множество пар <tex>(p_i, w_i)</tex>, где <tex>w_i</tex> - вектор параметров ''i''-го сэмпла), надо получить корреляционную матрицу <tex>A</tex>.
 +
 +
Вначале, представляем элементы матрицы <tex>A</tex> в виде вектора параметров. Далее, используя [[метод Ньютона-Гаусса]],находим оптимальный вектора параметров (минимум суммы остаточных квадратов). Затем, делаем обратный переход от вектора параметров к матрице и получаем искомую корреляционную матрицу <tex>A</tex>.
 +
 +
 +
'''3-3'''. Расстояние Кульбака - Лейблера между двумя распределениями ''p(z)'' и ''q(z)'' равняется:
 +
<center> <tex>D_{kl}(p,q)=\sum\limits_{z\in \mathcal{Z}} p(z) \ln \frac{p(z)}{q(z)}</tex></center>
==Вычислительный эксперимент==
==Вычислительный эксперимент==
 +
Обозначим плотность распределения SSE как <tex> p_{SSE}</tex>, а его аппроксимация лапласа <tex> p_{lap}</tex>.
 +
 +
{{tip | Во время вычислительного эксперимента ''SSE'' принимало достаточно большие значения (порядка <tex>10^3 - 10^4</tex>). Как следствие, ''p(y)'' принимало значения порядка 1, и аппроксимация Лапласа была некорректной.
 +
Поэтому, аппроксимация Лапласа применялась не к самому распределению ''p(y)'', а к ''ln(p(y))'' (т.е. к ''-SSE'' c точностью до коэффициента).}}
 +
===Пример 1===
===Пример 1===
-
Задуманная функция <tex>y=x + sin3x</tex>. Берем линейную регрессионную модель с 2-мя параметрами: <tex>y(x)=w_1+w_2x</tex>.
+
Задуманная функция <tex>y=x + sin3x</tex>. Рассматривается линейная регрессионная модель с двумя параметрами: <tex>y(x)=w_1+w_2x</tex>.
-
Используя '''МНК''' находим оптимальное значение <tex>w_1_{opt}</tex> и <tex>w_2_{opt}</tex> (при которых ''SSE'' минимально). При фиксированном <tex>w_1=w_1_{opt}</tex> задем произвольное значение <tex>w_2</tex> (500 значений на отрезке [-1;2]) истроим зависимость:
+
<tex>w_1_{opt}</tex> и <tex>w_2_{opt}</tex> - оптимальное значение параметров (при которых ''SSE'' минимально).
 +
 
 +
'''Фиксируем один параметр''' <tex>w_1=w_1_{opt}</tex> и задаем различные значение <tex>w_2</tex> (500 случайных значений на отрезке [-1;2]). Строим зависимость:
 +
 
 +
[[Изображение:Sse(w2)b.png‎|center|frame]]
 +
 
 +
<tex>D_{kl}(p_{SSE},p_{lap})=0.0085</tex>.
 +
 
 +
'''Повторим эксперимент''', только теперь варьируем сразу оба параметра <tex>w_1</tex> и <tex>w_2</tex>:
 +
 
 +
[[Изображение:Sse(w1,w2)a.png|center|frame|Рис. 1. Зависимость <tex>- SSE</tex> от <tex>w_1</tex> и <tex>w_2</tex>]]
 +
[[Изображение:Sse(w1,w2)verh.png|center|frame|Рис. 2. Зависимость <tex>- SSE</tex> от <tex>w_1</tex> и <tex>w_2</tex>. Ось log(p) направлена вверх]]
 +
 
 +
аппроксимация Лапласа:
 +
 
 +
[[Изображение:Laplas.png‎|center|frame|Laplace approximation]]
 +
 
 +
<tex>D_{kl}(p_{SSE},p_{lap})=4.9491*10^{-5}</tex>
 +
 
 +
ковариационная матрица
 +
FIXIT: матрица не является положительно определенной! По критерию Сильвестра элементы не диагонали должны быть положительны
 +
<tex>A=10^3*\begin{Vmatrix}
 +
-0.1021 & -0.3141\\
 +
-0.3141 & -1.3242\\
 +
\end{Vmatrix}
 +
</tex>
 +
 
 +
 
 +
На рис.2 наблюдается зависимость между коэффициентами <tex>w_1</tex> и <tex>w_2</tex>. Следовательно, ковариационная матрица <tex>cov(w_1,w_2)</tex> не будет диагональной.
 +
 
 +
===Пример 2===
 +
 
 +
Задуманная функция <tex>y=7.5x + 12tanx+\epsilon</tex>, где <tex>\epsilon</tex> - белый гауссовский шум. Рассматривается следующая регрессионная модель: линейная комбинация функций <tex>x</tex> и <tex>tanx</tex>.
 +
<center> <tex>y(x)=w_1*x+w_2tanx</tex>.</center>
 +
<tex>w_1_{opt}</tex> и <tex>w_2_{opt}</tex> - оптимальное значение параметров (при которых ''SSE'' минимально).
 +
 
 +
'''Фиксируем один параметр''' <tex>w_1=w_1_{opt}</tex> и задаем различные значение <tex>w_2</tex> (10000 случайных значений на отрезке [5;15]). Строим зависимость:
 +
 
 +
[[Изображение:Odin_parametr.png‎|center|frame]]
 +
 
 +
<tex>D_{kl}(p_{SSE},p_{lap})=4.3097*10^{-16}</tex>
 +
 
 +
'''Повторим эксперимент''', только теперь варьируем сразу оба параметра <tex>w_1</tex> и <tex>w_2</tex>(10000 случайных значений на отрезке [-100;100]):
 +
 
 +
[[Изображение:Dva_parametr_bok.png‎|center|frame|Рис. 1. Зависимость <tex>- SSE</tex> от <tex>w_1</tex> и <tex>w_2</tex>]]
 +
 
 +
[[Изображение:Dva_parametr_verh.png|center|frame|Рис. 2. Зависимость <tex>- SSE</tex> от <tex>w_1</tex> и <tex>w_2</tex>. Ось log(p) направлена вверх]]
 +
 
 +
аппроксимация Лапласа:
 +
 
 +
[[Изображение:Laplas_bok.png‎|center|frame|Laplace Approximation]]
 +
 
 +
[[Изображение:Laplas_verh.png‎|center|frame|Laplace Approximation. Ось log(p) направлена вверх]]
 +
 
 +
<tex>D_{kl}(p_{SSE},p_{lap})=0.1753</tex>
 +
 
 +
ковариационная матрица
 +
<tex>A=10^4*\begin{Vmatrix}
 +
-2.9234 & 0.0413\\
 +
0.0413 & -3.9066\\
 +
\end{Vmatrix}
 +
</tex>
 +
 
 +
===Пример 3===
 +
 
 +
Задуманная функция <tex>y=exp(7+log(5x))+\epsilon</tex>, где <tex>\epsilon</tex> - белый гауссовский шум. Рассматривается существенно нелинейная регрессионная модель с двумя параметрами: <tex>y(x)=exp(w_1+log(w_2x))</tex>.
 +
 
 +
'''Фиксируем один параметр''' <tex>w_2=5</tex> и задаем различные значение <tex>w_1</tex> (10000 случайных значений на отрезке [6.5;7.5]). Строим зависимость:
 +
 
 +
[[Изображение:Non_lin_1_par.png‎|center|frame]]
 +
 
 +
<tex>D_{kl}(p_{SSE},p_{lap})=0.0794</tex>.
 +
 
 +
'''Повторим эксперимент''', только теперь варьируем сразу оба параметра <tex>w_1</tex> и <tex>w_2</tex>(10000 случайных значений на отрезках [4.5;5.5] и [6.5;7.5] соответственно):
 +
 
 +
[[Изображение:Non_lin_2_par.png‎|center|frame| Зависимость <tex>- SSE</tex> от <tex>w_1</tex> и <tex>w_2</tex>]]
 +
 
 +
аппроксимация Лапласа:
 +
 
 +
[[Изображение:Non_lin_2_par_laplas.png‎|center|frame| Laplace Approximation]]
 +
 
 +
 
 +
<tex>D_{kl}(p_{SSE},p_{lap})=0.0718</tex>
 +
 
 +
ковариационная матрица
 +
<tex>A=10^{11}*\begin{Vmatrix}
 +
-2.7859 & 0.0056\\
 +
0.0056 & 0.0146\\
 +
\end{Vmatrix}
 +
</tex>
 +
 
 +
== Смотри также ==
 +
* [[Аппроксимация Лапласа]]
 +
* [[Сэмплирование]]
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Sampling_(statistics)#Notes Сэмплирование на вики]
 +
* [https://mlalgorithms.svn.sourceforge.net/svnroot/mlalgorithms/Group774/Zaitsev2010Laplace/zaytsev_yevgen_laplace_aproximation/ Скачать код MATLAB можно здесь]
 +
 
 +
== Литература ==
 +
* Bishop, C. Pattern Recognition And Machine Learning. Springer. 2006.
 +
 
 +
==Примечания==
 +
 
 +
<references/>
 +
 
 +
 
 +
{{ЗаданиеВыполнено|Евгений Зайцев|В.В.Стрижов|24 декабря 2010|Yevgen.zaytsev|Strijov}}
 +
 
-
[[Изображение:Sse(w2).png]]
+
[[Категория:Практика и вычислительные эксперименты]]

Текущая версия

Аппроксимация Лапласа - способ оценки параметров нормального распределения при аппроксимации заданной плотности вероятности.


Содержание

Постановка задачи

Задана выборка — множество X^N=\{{x}_1,\ldots,{x}_N|x\in\R^M\} значений свободных переменных и множество \{y_1,\ldots, y_N| y\in\R\} соответствующих им значений зависимой переменной. Необходимо для выбранной регрессионной модели f(w,x):

3-1 показать зависимость среднеквадратичной ошибки от значений параметров модели: SSE=SSE(w);

3-2 построить график и сделать аппроксимацию Лапласа для зависимости SSE=SSE(w);

3-3 найти расстояния между полученными зависимостями, используя расстояние Кульбака - Лейблера.

Описание алгоритма

При восстановлении регрессии рассматривалась следующая гипотеза порождения данных:

y=f(x,w)+\epsilon, где
\epsilon\propto N(0,\sigma^2)

В таком случае, при фиксированной модели f плотность вероятности появления данных равняется[1]:

p(y|x,w)=\frac{1}{Z_D}exp(-E_D), где

E_D - это функция регрессионных невязок, т.е. SSE;

Z_D - нормировачный коэффициент.

3-1. В заданной модели f, используя метод наименьших квадратов, находим оптимальное значение вектора параметров \mathcal w_{opt}. Далее, фиксируем все параметры выбранной регрессионной модели (для определенности зададим им оптимальные значения) кроме одного (пусть этот незафиксированный параметр будет w_1). После чего, варьируя значение w_1, строим искомую зависимость SSE=SSE(w_1) и график p(y|x,w_1). Таким образом построена зависимость от одного параметра w_1. Аналогично действуя, строится зависимость от большего количества параметров.

3-2. При аппроксимации Лапласа, полученную в пункте 3-1 функцию p(y|x,w_1) приближаем функцией многомерного нормального распределения  N(w_{otp},A). Воспользуемся нелинейной регрессионной моделью:

 p \propto exp((w - w_{otp})^T A^{-1} (w-w_{otp}))

Другими словами, зная из пункта 3-1 значение p(D|w) (т.е. множество пар (p_i, w_i), где w_i - вектор параметров i-го сэмпла), надо получить корреляционную матрицу A.

Вначале, представляем элементы матрицы A в виде вектора параметров. Далее, используя метод Ньютона-Гаусса,находим оптимальный вектора параметров (минимум суммы остаточных квадратов). Затем, делаем обратный переход от вектора параметров к матрице и получаем искомую корреляционную матрицу A.


3-3. Расстояние Кульбака - Лейблера между двумя распределениями p(z) и q(z) равняется:

D_{kl}(p,q)=\sum\limits_{z\in \mathcal{Z}} p(z) \ln \frac{p(z)}{q(z)}

Вычислительный эксперимент

Обозначим плотность распределения SSE как  p_{SSE}, а его аппроксимация лапласа  p_{lap}.


Во время вычислительного эксперимента SSE принимало достаточно большие значения (порядка 10^3 - 10^4). Как следствие, p(y) принимало значения порядка 1, и аппроксимация Лапласа была некорректной.

Поэтому, аппроксимация Лапласа применялась не к самому распределению p(y), а к ln(p(y)) (т.е. к -SSE c точностью до коэффициента).



Пример 1

Задуманная функция y=x + sin3x. Рассматривается линейная регрессионная модель с двумя параметрами: y(x)=w_1+w_2x. w_1_{opt} и w_2_{opt} - оптимальное значение параметров (при которых SSE минимально).

Фиксируем один параметр w_1=w_1_{opt} и задаем различные значение w_2 (500 случайных значений на отрезке [-1;2]). Строим зависимость:

D_{kl}(p_{SSE},p_{lap})=0.0085.

Повторим эксперимент, только теперь варьируем сразу оба параметра w_1 и w_2:

Рис. 1. Зависимость  от  и
Рис. 1. Зависимость - SSE от w_1 и w_2
Рис. 2. Зависимость  от  и . Ось log(p) направлена вверх
Рис. 2. Зависимость - SSE от w_1 и w_2. Ось log(p) направлена вверх

аппроксимация Лапласа:

Laplace approximation
Laplace approximation

D_{kl}(p_{SSE},p_{lap})=4.9491*10^{-5}

ковариационная матрица FIXIT: матрица не является положительно определенной! По критерию Сильвестра элементы не диагонали должны быть положительны A=10^3*\begin{Vmatrix}
-0.1021 & -0.3141\\
-0.3141 & -1.3242\\
\end{Vmatrix}


На рис.2 наблюдается зависимость между коэффициентами w_1 и w_2. Следовательно, ковариационная матрица cov(w_1,w_2) не будет диагональной.

Пример 2

Задуманная функция y=7.5x + 12tanx+\epsilon, где \epsilon - белый гауссовский шум. Рассматривается следующая регрессионная модель: линейная комбинация функций x и tanx.

y(x)=w_1*x+w_2tanx.

w_1_{opt} и w_2_{opt} - оптимальное значение параметров (при которых SSE минимально).

Фиксируем один параметр w_1=w_1_{opt} и задаем различные значение w_2 (10000 случайных значений на отрезке [5;15]). Строим зависимость:

D_{kl}(p_{SSE},p_{lap})=4.3097*10^{-16}

Повторим эксперимент, только теперь варьируем сразу оба параметра w_1 и w_2(10000 случайных значений на отрезке [-100;100]):

Рис. 1. Зависимость  от  и
Рис. 1. Зависимость - SSE от w_1 и w_2
Рис. 2. Зависимость  от  и . Ось log(p) направлена вверх
Рис. 2. Зависимость - SSE от w_1 и w_2. Ось log(p) направлена вверх

аппроксимация Лапласа:

Laplace Approximation
Laplace Approximation
Laplace Approximation.   Ось log(p) направлена вверх
Laplace Approximation. Ось log(p) направлена вверх

D_{kl}(p_{SSE},p_{lap})=0.1753

ковариационная матрица A=10^4*\begin{Vmatrix}
-2.9234 & 0.0413\\
0.0413 & -3.9066\\
\end{Vmatrix}

Пример 3

Задуманная функция y=exp(7+log(5x))+\epsilon, где \epsilon - белый гауссовский шум. Рассматривается существенно нелинейная регрессионная модель с двумя параметрами: y(x)=exp(w_1+log(w_2x)).

Фиксируем один параметр w_2=5 и задаем различные значение w_1 (10000 случайных значений на отрезке [6.5;7.5]). Строим зависимость:

D_{kl}(p_{SSE},p_{lap})=0.0794.

Повторим эксперимент, только теперь варьируем сразу оба параметра w_1 и w_2(10000 случайных значений на отрезках [4.5;5.5] и [6.5;7.5] соответственно):

Зависимость  от  и
Зависимость - SSE от w_1 и w_2

аппроксимация Лапласа:

Laplace Approximation
Laplace Approximation


D_{kl}(p_{SSE},p_{lap})=0.0718

ковариационная матрица A=10^{11}*\begin{Vmatrix}
-2.7859 & 0.0056\\
0.0056 & 0.0146\\
\end{Vmatrix}

Смотри также

Литература

  • Bishop, C. Pattern Recognition And Machine Learning. Springer. 2006.

Примечания



Данная статья была создана в рамках учебного задания.
Студент: Евгений Зайцев
Преподаватель: В.В.Стрижов
Срок: 24 декабря 2010


В настоящее время задание завершено и проверено. Данная страница может свободно правиться другими участниками проекта MachineLearning.ru.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Личные инструменты