Вероятностное пространство

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
-
Вероятностное пространство - это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А.Н. Колмогорова.
+
Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова.
Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей.
Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей.
Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально.
Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально.
Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.
Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.
-
==Определение==
+
== Определение ==
-
''Вероятностное пространство'' - это тройка <tex>(\Omega,\mathcal{F},P)</tex>, где:
+
''Вероятностное пространство'' — это тройка <tex>(\Omega,\mathcal{F},P)</tex>, где:
-
*<tex>\Omega</tex> - это множество объектов <tex>\omega\in\Omega</tex>, называемых ''элементарными исходами эксперимента''. На это множество не накладывается никаких условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество <tex>\Omega</tex> необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного опыта. С формальной математической точки зрения "произвести случайный опыт" означает в точности указать один элементарный исход <tex>\omega</tex>, который произошел в данной реализации опыта.
+
* <tex>\Omega</tex> — это множество объектов <tex>\omega\in\Omega</tex>, называемых ''элементарными исходами эксперимента''. На это множество не накладывается никаких условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество <tex>\Omega</tex> необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного опыта. С формальной математической точки зрения «произвести случайный опыт» означает в точности указать один элементарный исход <tex>\omega</tex>, который произошел в данной реализации опыта.
-
*<tex>\mathcal{F}</tex> - это некоторая зафиксированная система подмножеств <tex>B\subset\Omega</tex>, которые будут называться ''(случайными) событиями''. Если элементарный исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в событие <tex>B</tex>, то говорят, что в данной реализации событие <tex>B</tex> ''произошло'', иначе говорят, что событие ''не произошло''. Совокупность событий <tex>\mathcal{F}</tex> должна быть сигма-алгеброй, т.е. удовлетворять следующим свойствам:
+
* <tex>\mathcal{F}</tex> — это некоторая зафиксированная система подмножеств <tex>B\subset\Omega</tex>, которые будут называться ''(случайными) событиями''. Если элементарный исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в событие <tex>B</tex>, то говорят, что в данной реализации событие <tex>B</tex> ''произошло'', иначе говорят, что событие ''не произошло''. Совокупность событий <tex>\mathcal{F}</tex> должна быть сигма-алгеброй, то есть удовлетворять следующим свойствам:
-
**Пустое множество <tex>\emptyset</tex> должно быть событием, т.е. принадлежать <tex>\mathcal{F}</tex>. Это событие, которое существует в любом вероятностном пространстве, называется ''невозможным'', поскольку оно никогда не происходит.
+
** Пустое множество <tex>\emptyset</tex> должно быть событием, то есть принадлежать <tex>\mathcal{F}</tex>. Это событие, которое существует в любом вероятностном пространстве, называется ''невозможным'', поскольку оно никогда не происходит.
-
**Все множество <tex>\Omega</tex> также должно быть событием: <tex>\Omega\in\mathcal{F}</tex>. Это событие называется ''достоверным'', так как происходит при любой реализации случайного опыта.
+
** Все множество <tex>\Omega</tex> также должно быть событием: <tex>\Omega\in\mathcal{F}</tex>. Это событие называется ''достоверным'', так как происходит при любой реализации случайного опыта.
-
**Совокупность событий <tex>\mathcal{F}</tex> должна образовывать алгебру, т.е. быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций, выполняемых над конечным числом событий. Если <tex>A\in\mathcal{F}</tex> и <tex>B\in\mathcal{F}</tex>, тогда должно быть <tex>A\cup B\in\mathcal{F}</tex>, <tex>A\cap B\in\mathcal{F}</tex>, <tex>\overline{A}\in\mathcal{F}</tex>. Операции над событиями имеют очевидный содержательный смысл.
+
** Совокупность событий <tex>\mathcal{F}</tex> должна образовывать алгебру, то есть быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций, выполняемых над конечным числом событий. Если <tex>A\in\mathcal{F}</tex> и <tex>B\in\mathcal{F}</tex>, тогда должно быть <tex>A\cup B\in\mathcal{F}</tex>, <tex>A\cap B\in\mathcal{F}</tex>, <tex>\overline{A}\in\mathcal{F}</tex>. Операции над событиями имеют очевидный содержательный смысл.
-
**В дополнение к указанным свойствам, система <tex>\mathcal{F}</tex> должна быть замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном числе (свойство сигма-алгебры). Если <tex>\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}</tex>, тогда должно быть <tex>\bigcup_{i=1}^\infty B_i\in\mathcal{F}</tex> и <tex>\bigcap_{i=1}^\infty B_i\in\mathcal{F}</tex>.
+
** В дополнение к указанным свойствам, система <tex>\mathcal{F}</tex> должна быть замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном числе (свойство сигма-алгебры). Если <tex>\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}</tex>, тогда должно быть <tex>\bigcup_{i=1}^\infty B_i\in\mathcal{F}</tex> и <tex>\bigcap_{i=1}^\infty B_i\in\mathcal{F}</tex>.
-
*<tex>P</tex> - это числовая функция, которая определена на <tex>\mathcal{F}</tex> и ставит в соответствие каждому событию <tex>B\in\mathcal{F}</tex> число <tex>P(B)</tex>, которое называется ''вероятностью'' события <tex>B</tex>. Эта функция должна быть конечной сигма-аддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, т.е. обладать свойствами:
+
* <tex>P</tex> — это числовая функция, которая определена на <tex>\mathcal{F}</tex> и ставит в соответствие каждому событию <tex>B\in\mathcal{F}</tex> число <tex>P(B)</tex>, которое называется ''вероятностью'' события <tex>B</tex>. Эта функция должна быть конечной сигма-аддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, то есть обладать свойствами:
-
**<tex>0\le P(B)\le 1</tex> для любого <tex>B\in \mathcal{F}</tex>
+
** <tex>0\le P(B)\le 1</tex> для любого <tex>B\in \mathcal{F}</tex>
-
**<tex>P(\emptyset)=0</tex>, <tex>P(\Omega)=1</tex>
+
** <tex>P(\emptyset)=0</tex>, <tex>P(\Omega)=1</tex>
-
**Если <tex>A\in\mathcal{F}</tex> и <tex>B\in\mathcal{F}</tex> - события, причем <tex>A\cap B=\emptyset</tex>, тогда <tex>P(A\cup B)=P(A)+P(B)</tex> (свойство аддитивности).
+
** Если <tex>A\in\mathcal{F}</tex> и <tex>B\in\mathcal{F}</tex> — события, причем <tex>A\cap B=\emptyset</tex>, тогда <tex>P(A\cup B)=P(A)+P(B)</tex> (свойство аддитивности).
-
**Если <tex>\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}</tex>, причем Если <tex>B_i\cap B_j=\emptyset</tex> для любых Если <tex>i\ne j</tex>, тогда должно быть <tex>P\left(\bigcup_{i=1}^\infty B_i\right)=\sum_{i=1}^\infty P(B_i)</tex> (свойство сигма-аддитивности).
+
** Если <tex>\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}</tex>, причем Если <tex>B_i\cap B_j=\emptyset</tex> для любых Если <tex>i\ne j</tex>, тогда должно быть <tex>P\left(\bigcup_{i=1}^\infty B_i\right)=\sum_{i=1}^\infty P(B_i)</tex> (свойство сигма-аддитивности).
-
==Дискретные вероятностные пространства==
+
== Дискретные вероятностные пространства ==
Если множество элементарных исходов <tex>\Omega</tex> конечно или счетно: <tex>\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\ldots\}</tex>, то соответствующее вероятностное пространство называется ''дискретным''. В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества <tex>\Omega</tex>. В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу <tex>\omega_i</tex> число <tex>p_i\ge 0</tex> так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события <tex>B</tex> определяется следующим образом:
Если множество элементарных исходов <tex>\Omega</tex> конечно или счетно: <tex>\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\ldots\}</tex>, то соответствующее вероятностное пространство называется ''дискретным''. В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества <tex>\Omega</tex>. В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу <tex>\omega_i</tex> число <tex>p_i\ge 0</tex> так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события <tex>B</tex> определяется следующим образом:

Версия 17:05, 2 ноября 2009

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

Определение

Вероятностное пространство — это тройка (\Omega,\mathcal{F},P), где:

  • \Omega — это множество объектов \omega\in\Omega, называемых элементарными исходами эксперимента. На это множество не накладывается никаких условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество \Omega необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного опыта. С формальной математической точки зрения «произвести случайный опыт» означает в точности указать один элементарный исход \omega, который произошел в данной реализации опыта.
  • \mathcal{F} — это некоторая зафиксированная система подмножеств B\subset\Omega, которые будут называться (случайными) событиями. Если элементарный исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в событие B, то говорят, что в данной реализации событие B произошло, иначе говорят, что событие не произошло. Совокупность событий \mathcal{F} должна быть сигма-алгеброй, то есть удовлетворять следующим свойствам:
    • Пустое множество \emptyset должно быть событием, то есть принадлежать \mathcal{F}. Это событие, которое существует в любом вероятностном пространстве, называется невозможным, поскольку оно никогда не происходит.
    • Все множество \Omega также должно быть событием: \Omega\in\mathcal{F}. Это событие называется достоверным, так как происходит при любой реализации случайного опыта.
    • Совокупность событий \mathcal{F} должна образовывать алгебру, то есть быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций, выполняемых над конечным числом событий. Если A\in\mathcal{F} и B\in\mathcal{F}, тогда должно быть A\cup B\in\mathcal{F}, A\cap B\in\mathcal{F}, \overline{A}\in\mathcal{F}. Операции над событиями имеют очевидный содержательный смысл.
    • В дополнение к указанным свойствам, система \mathcal{F} должна быть замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном числе (свойство сигма-алгебры). Если \{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}, тогда должно быть \bigcup_{i=1}^\infty B_i\in\mathcal{F} и \bigcap_{i=1}^\infty B_i\in\mathcal{F}.
  • P — это числовая функция, которая определена на \mathcal{F} и ставит в соответствие каждому событию B\in\mathcal{F} число P(B), которое называется вероятностью события B. Эта функция должна быть конечной сигма-аддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, то есть обладать свойствами:
    • 0\le P(B)\le 1 для любого B\in \mathcal{F}
    • P(\emptyset)=0, P(\Omega)=1
    • Если A\in\mathcal{F} и B\in\mathcal{F} — события, причем A\cap B=\emptyset, тогда P(A\cup B)=P(A)+P(B) (свойство аддитивности).
    • Если \{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}, причем Если B_i\cap B_j=\emptyset для любых Если i\ne j, тогда должно быть P\left(\bigcup_{i=1}^\infty B_i\right)=\sum_{i=1}^\infty P(B_i) (свойство сигма-аддитивности).

Дискретные вероятностные пространства

Если множество элементарных исходов \Omega конечно или счетно: \Omega=\{\omega_1,\omega_2,\ldots\}, то соответствующее вероятностное пространство называется дискретным. В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества \Omega. В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу \omega_i число p_i\ge 0 так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события B определяется следующим образом:

P(B)=\sum_{i:\omega_i\in B}p_i.

Личные инструменты