Материал из MachineLearning.
Вероятностное пространство - это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А.Н. Колмогорова.
Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей.
Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально.
Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.
Определение
Вероятностное пространство - это тройка )
, где:
- это множество объектов 
, называемых элементарными исходами эксперимента. На это множество не накладывается никаких условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного опыта. С формальной математической точки зрения "произвести случайный опыт" означает в точности указать один элементарный исход 
, который произошел в данной реализации опыта.
- это некоторая зафиксированная система подмножеств 
, которые будут называться (случайными) событиями. Если элементарный исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в событие 
, то говорят, что в данной реализации событие произошло, иначе говорят, что событие не произошло. Совокупность событий должна быть сигма-алгеброй, т.е. удовлетворять следующим свойствам:
- Пустое множество
должно быть событием, т.е. принадлежать . Это событие, которое существует в любом вероятностном пространстве, называется невозможным, поскольку оно никогда не происходит.
- Все множество также должно быть событием:
. Это событие называется достоверным, так как происходит при любой реализации случайного опыта.
- Совокупность событий должна образовывать алгебру, т.е. быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций, выполняемых над конечным числом событий. Если
и 
, тогда должно быть 
, 
, 
. Операции над событиями имеют очевидный содержательный смысл.
- В дополнение к указанным свойствам, система должна быть замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном числе (свойство сигма-алгебры). Если
, тогда должно быть 
и 
.
- это числовая функция, которая определена на и ставит в соответствие каждому событию число )
, которое называется вероятностью события . Эта функция должна быть конечной сигма-аддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, т.е. обладать свойствами:
\le 1)
для любого 
=0)
, =1)
- Если и - события, причем
, тогда =P(A)+P(B))
(свойство аддитивности).
- Если , причем Если
для любых Если 
, тогда должно быть =\sum_{i=1}^\infty P(B_i))
(свойство сигма-аддитивности).
