Вычисление второй производной по разным переменным

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Изложение метода)
(Изложение метода)
Строка 5: Строка 5:
Рассмотрим формулу <tex>\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\ \partial y} </tex>=<tex>(f_x')_y'</tex>. Сведем задачу нахождения смешанной производной по двум разным переменным к задачам нахождения производной по одной переменной. Производную по одной переменной будем находить следующим образом - <tex>f'(x)</tex>=<tex>\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}</tex>.
Рассмотрим формулу <tex>\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\ \partial y} </tex>=<tex>(f_x')_y'</tex>. Сведем задачу нахождения смешанной производной по двум разным переменным к задачам нахождения производной по одной переменной. Производную по одной переменной будем находить следующим образом - <tex>f'(x)</tex>=<tex>\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}</tex>.
Получается что для нахождения смешанной производной достаточно найти три одномерные производные и вычислить значение исходной функции в четырех точках.
Получается что для нахождения смешанной производной достаточно найти три одномерные производные и вычислить значение исходной функции в четырех точках.
-
Для начала найдем две производные по y в точках <tex>M(x+h_x)</tex> и <tex>N(x-h_x)</tex>, а затем найдем искомую производную по формуле <tex>f'(x)</tex>=<tex>\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}</tex>=<tex>\frac{f(M)-F(N)}{2h}</tex>
+
Для начала найдем две производные по y в точках <tex>M(x+h_x)</tex> и <tex>N(x-h_x)</tex>
 +
<tex>f(x+h_x,y)_y' = \frac{f(x+h_x,y+h_y)-f(x+h_x,y-h_y)}{2h}</tex>
 +
<tex>f(x-h_x,y)_y' = \frac{f(x-h_x,y+h_y)-f(x-h_x,y-h_y)}{2h}</tex>
 +
Затем найдем искомую производную по формуле <tex>f'(x)</tex>=<tex>\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}</tex>=<tex>\frac{f(M)-F(N)}{2h}</tex>

Версия 17:53, 20 октября 2008

Введение

Постановка математической задачи

Допустим, что в некоторой точке x у функции f(x,y) существует производная 2-го порядка \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\ \partial y} , которую точно вычислить либо не удаётся, либо слишком сложно. В этом случае для приближенного нахождения производной функции требуется использовать методы численного дифференцирования.

Изложение метода

Рассмотрим формулу \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\ \partial y} =(f_x')_y'. Сведем задачу нахождения смешанной производной по двум разным переменным к задачам нахождения производной по одной переменной. Производную по одной переменной будем находить следующим образом - f'(x)=\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}. Получается что для нахождения смешанной производной достаточно найти три одномерные производные и вычислить значение исходной функции в четырех точках. Для начала найдем две производные по y в точках M(x+h_x) и N(x-h_x) f(x+h_x,y)_y' = \frac{f(x+h_x,y+h_y)-f(x+h_x,y-h_y)}{2h} f(x-h_x,y)_y' = \frac{f(x-h_x,y+h_y)-f(x-h_x,y-h_y)}{2h} Затем найдем искомую производную по формуле f'(x)=\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}=\frac{f(M)-F(N)}{2h}

Личные инструменты