Вычисление второй производной по разным переменным

Материал из MachineLearning.

Версия от 17:53, 20 октября 2008; Янгиров (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Введение

Постановка математической задачи

Допустим, что в некоторой точке $x$ у функции $f(x,y)$ существует производная 2-го порядка $\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\ \partial y}$ , которую точно вычислить либо не удаётся, либо слишком сложно. В этом случае для приближенного нахождения производной функции требуется использовать методы численного дифференцирования.

Изложение метода

Рассмотрим формулу $\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\ \partial y}$ = $(f_x')_y'$ . Сведем задачу нахождения смешанной производной по двум разным переменным к задачам нахождения производной по одной переменной. Производную по одной переменной будем находить следующим образом - $f'(x)$ = $\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$ . Получается что для нахождения смешанной производной достаточно найти три одномерные производные и вычислить значение исходной функции в четырех точках. Для начала найдем две производные по y в точках $M(x+h_x)$ и $N(x-h_x)$ $f(x+h_x,y)_y' = \frac{f(x+h_x,y+h_y)-f(x+h_x,y-h_y)}{2h}$ $f(x-h_x,y)_y' = \frac{f(x-h_x,y+h_y)-f(x-h_x,y-h_y)}{2h}$ Затем найдем искомую производную по формуле $f'(x)$ = $\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$ = $\frac{f(M)-F(N)}{2h}$