Вычисление второй производной по разным переменным

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Введение

Постановка математической задачи

Допустим, что в некоторой точке x у функции f(x,y) существует производная 2-го порядка \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\ \partial y} , которую точно вычислить либо не удаётся, либо слишком сложно. В этом случае для приближенного нахождения производной функции требуется использовать методы численного дифференцирования.

Изложение метода

Рассмотрим формулу \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\ \partial y} =(f_x')_y'. Сведем задачу нахождения смешанной производной по двум разным переменным к задачам нахождения производной по одной переменной. Производную по одной переменной будем находить следующим образом - f'(x)=\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}. Получается что для нахождения смешанной производной достаточно найти три одномерные производные и вычислить значение исходной функции в четырех точках. Для начала найдем две производные по y в точках M(x+h_x) и N(x-h_x)

f(x+h_x,y)_y' = \frac{f(x+h_x,y+h_y)-f(x+h_x,y-h_y)}{2h_y}
f(x-h_x,y)_y' = \frac{f(x-h_x,y+h_y)-f(x-h_x,y-h_y)}{2h_y}

Затем найдем искомую производную по формуле f'(x)=\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}=\frac{f(M)-F(N)}{2h_x}

Личные инструменты