Вычисление матриц Якоби и Гессе

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 8: Строка 8:
матрица, составленная из частных производных этих функций по всем переменным.
матрица, составленная из частных производных этих функций по всем переменным.
-
<p align = "center">
 
<tex>
<tex>
J=\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}.
J=\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}.
</tex>
</tex>
-
</p>
 
Если в некоторой точке <tex>x_1 \dots x_m </tex> очень сложно или невозможно вычислить частные производные, <tex>\frac{\partial y_i}{\partial x_j} </tex>, то для вычисления матрицы Якоби применяются методы численного дифференцирования.
Если в некоторой точке <tex>x_1 \dots x_m </tex> очень сложно или невозможно вычислить частные производные, <tex>\frac{\partial y_i}{\partial x_j} </tex>, то для вычисления матрицы Якоби применяются методы численного дифференцирования.
==== Вычисление матрицы Гессе ====
==== Вычисление матрицы Гессе ====
-
'''Матрицей Гессе''' функции <math>n</math>
+
'''Матрицей Гессе''' функции <tex>m</tex> переменных <tex>y(x_1 \dots x_m) </tex> называется матрица, составленная из вторых производных функции <tex>y(x_1 \dots x_m) </tex> по всем переменным
-
===
+
-
== Изложение метода ==
+
<tex>
 +
H(f) = \begin{bmatrix}
 +
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_m} \\ \\
 +
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_m} \\ \\
 +
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\
 +
\frac{\partial^2 f}{\partial x_m\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_m\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_m^2}
 +
\end{bmatrix}
 +
</tex>
 +
Если в некоторой точке <tex>x_1 \dots x_m </tex> очень сложно или невозможно вычислить частные производные, <tex>\frac{\partial^2 y}{\partial x_i\ \partial x_j} </tex>, то для вычисления матрицы Гессе применяются методы численного дифференцирования.
 +
 +
== Изложение метода ==
 +
Для вычисления матрицы Якоби в заданной необходимо найти частные производные всех функций системы по всем переменным. Для вычисления
 +
производной <tex>{\partial y_i}{\partial x_j} </tex> можно воспользоваться любым из методов [[ Вычисление первой производной|вычисления первой производной]].
== Числовой пример ==
== Числовой пример ==

Версия 11:07, 20 октября 2008

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Вычисление матрицы Якоби

Пусть задана система m функций y_1(x_1, x_2, \dots x_n) \dots y_m(x_1, x_2, \dots x_n) от m переменных. Матрицей Якоби данной системы функций называется матрица, составленная из частных производных этих функций по всем переменным.

J=\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}.

Если в некоторой точке x_1 \dots x_m очень сложно или невозможно вычислить частные производные, \frac{\partial y_i}{\partial x_j} , то для вычисления матрицы Якоби применяются методы численного дифференцирования.

Вычисление матрицы Гессе

Матрицей Гессе функции m переменных y(x_1 \dots x_m) называется матрица, составленная из вторых производных функции y(x_1 \dots x_m) по всем переменным

H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_m} \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_m} \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_m\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_m\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_m^2} \end{bmatrix}

Если в некоторой точке x_1 \dots x_m очень сложно или невозможно вычислить частные производные, \frac{\partial^2 y}{\partial x_i\ \partial x_j} , то для вычисления матрицы Гессе применяются методы численного дифференцирования.

Изложение метода

Для вычисления матрицы Якоби в заданной необходимо найти частные производные всех функций системы по всем переменным. Для вычисления производной {\partial y_i}{\partial x_j} можно воспользоваться любым из методов вычисления первой производной.

Числовой пример

Рекомендации программисту

Заключение

Список литературы

  • А. А. Самарский, А. В. Гулин. Численные методы. Москва «Наука», 1989.
  • Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. Численные методы. Лаборатория Базовых Знаний, 2003.
  • Магнус Я. Р., Нейдеккер Х. Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике: Пер. с англ./ Под ред. С. А. Айвазяна. — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 496 с.
  • Хайкин С. Нейронные сети, полный курс. 2е издание, испр. - М: Вильямс. 2008. - 1103 с. ISBN 978-5-8459-0890-2
Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86_%D0%AF%D0%BA%D0%BE%D0%B1%D0%B8_%D0%B8_%D0%93%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B5»
Личные инструменты