Интерполяция функций двух переменных, проблема выбора узлов
Материал из MachineLearning.
(→Билинейная интерполяция) |
(→Изложение метода) |
||
| Строка 15: | Строка 15: | ||
== Изложение метода == | == Изложение метода == | ||
| - | |||
=== Билинейная интерполяция === | === Билинейная интерполяция === | ||
| + | '''Билинейной интерполяцией''' называют расширение линейной интерполяции для функций двух переменных. | ||
| - | + | Пусть сетка образована пересечением прямых x = x<sub>n</sub>, n = 0, ..., N и y = y<sub>m</sub>, m = 0, ..., M, f<sub>nm</sub> = f(x<sub>n</sub>, y<sub>m</sub>) — значение функции в узле {x<sub>n</sub>, y<sub>m</sub> }. | |
| + | Для начала реализуется линейная интерполяция по x на каждой прямой y = y<sub>m</sub> . Затем при каждом значении x = x<sub>n</sub> реализуется линейная интерполяция по y с учетом значений функции, полученных на первом шаге.<br/> | ||
Пусть <tex>\ x\in[x_n,x_n_+_1],\ \ y\in[y_m,y_m_+_1]</tex><br/> | Пусть <tex>\ x\in[x_n,x_n_+_1],\ \ y\in[y_m,y_m_+_1]</tex><br/> | ||
::<tex>f(x,y)\approx \ f_{nm}\frac{(x_{n+1}-x)(y_{m+1}-y)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}\ \ \ +\ \ \ f_{n+1,m}\frac{(x-x_n)(y_{m+1}-y)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}+<br/>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +f_{n,m+1}\frac{(x-x_n)(y-y_m)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}\ +\ f_{n+1,m+1}\frac{(x_{n+1}-x)(y-y_m)}{{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}</tex><br/> | ::<tex>f(x,y)\approx \ f_{nm}\frac{(x_{n+1}-x)(y_{m+1}-y)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}\ \ \ +\ \ \ f_{n+1,m}\frac{(x-x_n)(y_{m+1}-y)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}+<br/>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +f_{n,m+1}\frac{(x-x_n)(y-y_m)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}\ +\ f_{n+1,m+1}\frac{(x_{n+1}-x)(y-y_m)}{{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}</tex><br/> | ||
| - | Результат билинейной интерполяции не зависит от порядка шагов: можно сначала интерполировать | + | Результат билинейной интерполяции не зависит от порядка шагов: можно сначала интерполировать вдоль |
| + | оси абсцисс а затем вдоль оси ординат, так и наоборот, результат будет одним и тем же. | ||
| + | === Интерполяционный многочлен Лагранжа === | ||
| + | '''Интерполяционный многочлен Лагранжа''' - многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. | ||
| + | Для двумерного случая: для (n+1)x(m+1) троек чисел (x<sub>i</sub>,yj,f(x_i,y_j)) i=0..n, j=0..m, где все пары (x_i,y_j) различны, существует единственный многочлен L(x,y) степени не более n^2, для которого L(x_i,y_i) = f(x_i,y_i) | ||
== Числовой пример == | == Числовой пример == | ||
Версия 09:51, 16 октября 2008
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
Интерполя́ция — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Рассмотрим систему несовпадающих точек (
) из некоторой области
. Пусть значения функции
известны только в этих точках:
Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что
- Точки
называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.
- Тройки
называют точками данных или базовыми точками.
- Разность между «соседними» значениями
— шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным так и постоянным.
- Функцию
— называют интерполирующей функцией .
Изложение метода
Билинейная интерполяция
Билинейной интерполяцией называют расширение линейной интерполяции для функций двух переменных.
Пусть сетка образована пересечением прямых x = xn, n = 0, ..., N и y = ym, m = 0, ..., M, fnm = f(xn, ym) — значение функции в узле {xn, ym }.
Для начала реализуется линейная интерполяция по x на каждой прямой y = ym . Затем при каждом значении x = xn реализуется линейная интерполяция по y с учетом значений функции, полученных на первом шаге.
Пусть
Результат билинейной интерполяции не зависит от порядка шагов: можно сначала интерполировать вдоль оси абсцисс а затем вдоль оси ординат, так и наоборот, результат будет одним и тем же.
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Интерполяционный многочлен Лагранжа - многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для двумерного случая: для (n+1)x(m+1) троек чисел (xi,yj,f(x_i,y_j)) i=0..n, j=0..m, где все пары (x_i,y_j) различны, существует единственный многочлен L(x,y) степени не более n^2, для которого L(x_i,y_i) = f(x_i,y_i)
