Интерполяция функций двух переменных, проблема выбора узлов

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 07:18, 19 октября 2008

Содержание

1 Введение
- 1.1 Постановка математической задачи
2 Изложение метода
3 Числовой пример
4 Рекомендации программисту
5 Заключение
6 Список литературы
7 См. также

Введение

Постановка математической задачи

Интерполя́ция — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Рассмотрим систему несовпадающих точек $~(x_i , y_i)$ ( $i\in{0,1,\dots,N}$ ) из некоторой области $~D$ . Пусть значения функции $~f$ известны только в этих точках:

$z_i = f(x_i,y_i),\quad i=1,\ldots,N.$

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции $~F$ из заданного класса функций, что

$F(x_i,y_i) = z_i,\quad i=1,\ldots,N.$

Точки $~(x_i , y_i)$ называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.
Тройки $~(x_i,y_i,z_i)$ называют точками данных или базовыми точками.
Разность между «соседними» значениями $~\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным так и постоянным.
Функцию $~F(x)$ — называют интерполирующей функцией .

Изложение метода

Проблема выбора узлов

Рассмотрим интерполяцию полиномами:
I. Заметим что не любое число узлов интерполяции выгодно. Если для одной переменной степень многочлена была взаимно однозначно связана с числом узлов, то для двух переменных многочлен n-ой степени $P_n(x,y)=\sum_{k+m=0}^na_{km}x^ky^m\$ имеет (n+1)(n+2)/2 узлов. Если число узлов не соответствует этой формуле, то часть коэффициентов при высших степенях должна задаваться принудительно (в частности нулями): для выбора этих коэффициентов редко есть разумные основания.
II. Также не всякое расположение узлов допустимо: в одномерном случае узлы не должны были совпадать. Теперь же для интерполяции многочеленом $P_1(x,y)$ необходимо, чтобы узлы не лежали на прямой в плоскости $(x,y)$ . При интерполяции многочленом $P_n(x,y)$ требуется, чтобы узлы не лежали на кривой n-го порядка.
Поэтому для хорошей интерполяции сетка должна быть регулярно построенной, а не представлять собой совокупность беспорядочно расположенных точек. Следущие два примера используют прямоугольную сетку, образованную пересечением прямых x = x_n, n = 0, ..., N и y = y_m, m = 0, ..., M,

f_nm = f(x_n, y_m) — значение функции в узле {x_n, y_m }.

Билинейная интерполяция

Билинейной интерполяцией называют расширение линейной интерполяции для функций двух переменных. Для начала реализуется линейная интерполяция по x на каждой прямой y = y_m . Затем при каждом значении x = x_n реализуется линейная интерполяция по y с учетом значений функции, полученных на первом шаге.
Пусть $\ x\in[x_n,x_n_+_1],\ \ y\in[y_m,y_m_+_1]$

$f(x,y)\approx \ f_{nm}\frac{(x_{n+1}-x)(y_{m+1}-y)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}\ \ \ +\ \ \ f_{n+1,m}\frac{(x-x_n)(y_{m+1}-y)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}+<br/>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +f_{n,m+1}\frac{(x-x_n)(y-y_m)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}\ +\ f_{n+1,m+1}\frac{(x_{n+1}-x)(y-y_m)}{{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}$

Результат билинейной интерполяции не зависит от порядка шагов: можно сначала интерполировать вдоль оси абсцисс а затем вдоль оси ординат, так и наоборот, результат будет одним и тем же.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа - многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек.

Для двумерного случая многочлен выглядит следующим образом

$L(x) = \sum_{n=0}^N \sum_{m=0}^M f_{nm} l_{nm}(x,y)$

$l_{nm}(n,m)=1$

$l_{nm}(x,y)=0$ при $x\ne n\ V \ y\ne m$

базисные полиномы вычисляются по следующей формуле:

$l_{nm}(x,y)=\prod_{i=0 \\i \ne n}^N\ \prod_{j=0 \\j\ne m}^M\frac{(x-x_i)(y-y_j)}{(x_n-x_j)(y_m-y_j)}$

Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация l_nm(x,y), может иметь степень не больше n×m, и по определению L(x_n,y_m)=f(x_n,y_m)

Числовой пример

Заключение

Список литературы

А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
А.А.Самарский. Введение в численные методы М.: Наука, 1982.
Н.Н.Калиткин. Численные методы М.: Наука, 1978.

См. также

Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%2C_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B0_%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B2»

Категория: Численное дифференцирование

@@ Строка 16: / Строка 16: @@
 == Изложение метода ==
 === Проблема выбора узлов ===
+Рассмотрим [[Интерполяция каноническим полиномом|интерполяцию полиномами]]: <br />
 '''I.''' Заметим что не любое число узлов интерполяции выгодно. Если для одной переменной степень многочлена была взаимно однозначно связана с числом узлов, то для двух переменных многочлен ''n''-ой степени <tex>P_n(x,y)=\sum_{k+m=0}^na_{km}x^ky^m\ </tex>  имеет (n+1)(n+2)/2 узлов. Если число узлов не соответствует этой формуле, то часть коэффициентов при высших степенях должна задаваться принудительно (в частности нулями): для выбора этих коэффициентов редко есть разумные основания. <br />
-'''II.''' Также не всякое расположение узлов допустимо: в одномерном случае узлы не должны были совпадать. При интерполяции многочленом <tex>P_n(x,y)</tex> требуется чтобы узлы не лежали на кривой n-го порядка.  <br />
+'''II.''' Также не всякое расположение узлов допустимо: в одномерном случае узлы не должны были совпадать. Теперь же для интерполяции многочеленом <tex>P_1(x,y)</tex> необходимо, чтобы узлы не лежали на прямой в плоскости <tex>(x,y)</tex>. При интерполяции многочленом <tex>P_n(x,y)</tex> требуется, чтобы узлы не лежали на кривой n-го порядка.  <br />
 Поэтому для хорошей интерполяции сетка должна быть регулярно построенной, а не представлять собой совокупность беспорядочно расположенных точек. Следущие два примера используют прямоугольную сетку, образованную пересечением прямых x = x<sub>n</sub>, n = 0, ..., N и y = y<sub>m</sub>, m = 0, ..., M, <br />
 ::f<sub>nm</sub> = f(x<sub>n</sub>, y<sub>m</sub>) — значение функции в узле {x<sub>n</sub>, y<sub>m</sub> }.
 === Билинейная интерполяция ===
 '''Билинейной интерполяцией''' называют расширение линейной интерполяции для функций двух переменных.