Интерполяция функций двух переменных, проблема выбора узлов

Материал из MachineLearning.

Содержание 1 Введение 1.1 Постановка математической задачи 2 Изложение метода 2.1 Проблема выбора узлов 2.2 Билинейная интерполяция 2.3 Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 Числовой пример 4 Рекомендации программисту 5 Заключение 6 Список литературы

Введение

Постановка математической задачи

Интерполя́ция — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Рассмотрим систему несовпадающих точек () из некоторой области . Пусть значения функции известны только в этих точках:

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что

• Точки называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.
• Тройки называют точками данных или базовыми точками.
• Разность между «соседними» значениями — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным так и постоянным.
• Функцию — называют интерполирующей функцией .

Изложение метода

Проблема выбора узлов

I. Заметим что не любое число узлов интерполяции выгодно. Если для одной переменной степень многочлена была взаимно однозначно связана с числом узлов, то для двух переменных многочлен n-ой степени имеет (n+1)(n+2)/2 узлов. Если число узлов не соответствует этой формуле, то часть коэффициентов при высших степенях должна задаваться принудительно (в частности нулями): для выбора этих коэффициентов редко есть разумные основания.
II. Также не всякое расположение узлов допустимо: в одномерном случае узлы не должны были совпадать. При интерполяции многочленом требуется чтобы узлы не лежали на кривой n-го порядка.
Поэтому для хорошей интерполяции сетка должна быть регулярно построенной, а не представлять собой совокупность беспорядочно расположенных точек. Следущие два примера используют прямоугольную сетку, образованную пересечением прямых x = x_n, n = 0, ..., N и y = y_m, m = 0, ..., M,

f_nm = f(x_n, y_m) — значение функции в узле {x_n, y_m }.

Билинейная интерполяция

Билинейной интерполяцией называют расширение линейной интерполяции для функций двух переменных. Для начала реализуется линейная интерполяция по x на каждой прямой y = y_m . Затем при каждом значении x = x_n реализуется линейная интерполяция по y с учетом значений функции, полученных на первом шаге.
Пусть

Результат билинейной интерполяции не зависит от порядка шагов: можно сначала интерполировать вдоль оси абсцисс а затем вдоль оси ординат, так и наоборот, результат будет одним и тем же.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа - многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек.

Для двумерного случая: для (n+1)×(m+1) точек i=0..n, j=0..m, где все пары различны, существует единственный многочлен L(x,y) степени не более n×m для которого L(x_i,y_j) = f(x_i,y_j)

Числовой пример

Рекомендации программисту

Заключение

Список литературы