Коэффициент корреляции Кенделла

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Отмена правки № 10605 участника Василий Ломакин (обсуждение))
(Описание)
 
(4 промежуточные версии не показаны)
Строка 1: Строка 1:
{{TOCright}}
{{TOCright}}
-
Корреляцию Кенделла также называют мерой взаимной неупорядоченности или рассогласования.
 
-
==Определение==
+
'''Коэффициент корреляции Кенделла''' (Kendall tau rank correlation coefficient) — мера линейной связи между случайными величинами. Корреляция Кенделла является [[Ранговая корреляция|ранговой]], то есть для оценки силы связи используются не численные значения, а соответствующие им ранги. Коэффициент инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.
-
Заданы две выборки <tex>x = (x_1,\ldots,x_n),\;\; y = (y_1,\ldots,y_n)</tex>.
+
==Описание==
-
'''Коэффициент корреляции Кенделла''', равен
+
Заданы две выборки <tex>x = (x_1,\ldots,x_n),\; y = (y_1,\ldots,y_n)</tex>.
-
:: <tex>\tau=1-\frac{4}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\left[[x_i<x_j]\neq[y_i<y_j]\right]</tex>,
+
-
где [логическое выражение]=1, если логическое выражение верно, иначе, 0, например,
+
'''Вычисление корреляции Кенделла:'''
-
<tex>[x_i<x_j]=\left\{ \begin{array}{l} 1, x_i>x_j;\\ 0, x_i \geq x_j.\\ \end{array} \right</tex>
+
-
Коэффициент <tex>\tau</tex> принимает значения от -1 до 1. Равенство <tex>\tau=1</tex> указывает на строгую линейную корреляцию.
+
Коэффициент корреляции Кенделла вычисляется по формуле:
 +
::<tex>\tau=1-\frac{4}{n(n-1)}R</tex>, где <tex>R = \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\left[ \left[ x_i\ <\ x_j \right] \neq \left[ y_i\ <\ y_j \right] \right]</tex> — количество инверсий, образованных величинами <tex>y_i</tex>, расположенными в порядке возрастания соответствующих <tex>x_i</tex>.
 +
 
 +
Коэффициент <tex>\tau</tex> принимает значения из отрезка <tex>[-1;\;1]</tex>. Равенство <tex>\tau=1</tex> указывает на строгую прямую линейную зависимость, <tex>\tau=-1</tex> на обратную.
 +
 
 +
'''Обоснование критерия Кенделла:'''
 +
 
 +
Будем говорить, что пары <tex>(x_i,\; y_i)</tex> и <tex>(x_j,\; y_j)</tex> согласованы, если <tex>x_i\ <\ x_j</tex> и <tex>y_i\ <\ y_j</tex> или <tex>x_i\ >\ x_j</tex> и <tex>y_i\ >\ y_j</tex>, то есть <tex>sign(x_j-x_i)sign(y_j-y_i)=1</tex>. Пусть <tex>S</tex> - число согласованных пар, <tex>R</tex> - число несогласованных пар. Тогда, в предположении, что среди <tex>x_i</tex> и среди <tex>y_i</tex> нет совпадений, превышение согласованности над несогласованностью есть:
 +
 
 +
::<tex>T = S - R = \sum_{i < j}sign(x_j-x_i)sign(y_j-y_i)</tex>.
 +
 
 +
Для измерения степени согласия Кенделл предложил следующий коэффициент:
 +
 
 +
::<tex>\tau = \frac{T}{max{T}} = \frac{2T}{n(n-1)} = \frac{2(S-R)}{n(n-1)} = 1 - \frac{4}{n(n-1)}R</tex>.
 +
 
 +
Таким образом, коэффициент <tex>\tau</tex> (линейно связанный с <tex>R</tex>) можно считать ''мерой неупорядоченности'' второй последовательности относительно первой.<ref>Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 345 с.</ref>
==Статистическая проверка наличия корреляции==
==Статистическая проверка наличия корреляции==
-
'''Гипотеза <tex>H_0</tex>:''' Выборки <tex>x</tex> и <tex>y</tex> не коррелируют.
+
[[Изображение:Standard_Normal_Density_-_Double-sided_Critical_Area.png|thumb|Критическая область критерия Кенделла.]]
-
'''Статистика критерия:'''
+
'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0</tex>: Выборки <tex>x</tex> и <tex>y</tex> не коррелируют.
-
::<tex>\frac{\tau}{\sqrt{D_{\tau}}},</tex>
+
-
где <tex>D_{\tau}=\frac{2(2n+5)}{9n(n-1)}</tex>.
+
-
При <tex>n\geq 10</tex> статистику критерия можно приблизить нормальным распределением с параметрами (0,1):
+
'''Статистика критерия:''' <tex>\tau.</tex>
-
::<tex>\frac{\tau}{\sqrt{D_{\tau}}}\sim N(0,1)</tex>
+
-
'''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
+
'''Асимптотический критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
-
*против альтернативы <tex>H_1</tex>: наличие корреляции
+
-
:: если <tex>|\tau| > \tau_{\alpha}=u_{\alpha}\cdot\sqrt{D_{\tau_{xy}}} </tex>, где <tex>u_{\alpha}</tex> — <tex>\alpha</tex>-квантиль стандартного нормального распределения.
+
-
==Связь коэффициента корреляции Кенделла с [[коэффициент корреляции Пирсона|коэффициентом корреляции Пирсона]]==
+
Рассмотрим центрированную и нормированную статистику Кенделла:
-
В случае выборок из нормального распределения коэффициент корреляции Кенделла <tex>\tau</tex> может быть использован для оценки [[коэффициент корреляции Пирсона|коэффициента корреляции Пирсона]] <tex>r</tex> по формуле
+
::<tex>\tilde{\tau} = \frac{\tau}{\sqrt{D_{\tau}}},</tex>, где <tex>D_{\tau}=\frac{2(2n+5)}{9n(n-1)}</tex>.
-
:: <tex>r=sin{\frac{\pi\tau}{2}}</tex>
+
-
==Связь коэффициента корреляции Кенделла с [[Коэффициент корреляции Спирмена|коэффициентом корреляциии Спирмена]]==
+
Нулевая гипотеза отвергается (против альтернативы <tex>H_1</tex> - наличие корреляции), если:
 +
 
 +
:: <tex> \left|\tilde{\tau}\right| \ge \Phi_{1-\alpha/2} </tex>, где <tex>\Phi_{1-\alpha}</tex> есть <tex>(1-\alpha)</tex>-[[квантиль]] стандартного нормального распределения.
 +
 
 +
Аппроксимация удовлетворительно работает, начиная с <tex>n\geq 10</tex>.<ref>Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — 625 с.</ref>
 +
 
 +
==Примеры==
 +
 
 +
Ниже приведены примеры вычисления корреляций Кенделла и Спирмена. Значения коэффициентов указаны над каждым изображением в виде <tex>(\tau,\ \rho)</tex>, где <tex>\tau</tex> - корреляция Кенделла, <tex>\rho</tex> - Спирмена. Заметно, что в большинстве случаев <tex>\left| \rho \right|\ >\ \left| \tau \right|</tex>. Объяснение этого эффекта приводится [[Коэффициент_корреляции_Кенделла#Связь коэффициентов корреляции Кенделла и Спирмена|ниже]].
 +
 
 +
===Направление линейной зависимости===
 +
 
 +
[[Изображение:Fig1.1-c2.png|left|frame|Корреляции Кенделла и Спирмена. Нормальные сгущения.]]<br clear="both" />
 +
 
 +
Коэффициенты корреляции реагируют на изменение направления и зашумлённость линейной зависимости между переменными.
 +
 
 +
===Наклон линейного тренда===
 +
 
 +
[[Изображение:Kendall Spearman 2.png|left|frame|Корреляции Кенделла и Спирмена. Вращающаяся полоса.]]<br clear="both" />
 +
 
 +
Коэффициенты корреляции реагируют на изменение направления, но не реагируют на изменение наклона тренда. На первом, четвёртом и седьмом рисунках дисперсия одной из переменных близка к нулю, поэтому не удаётся зафиксировать факт линейной зависимости.
 +
 
 +
===Нелинейная зависимость===
 +
 
 +
[[Изображение:Kendall Spearman 3.png|left|frame|Корреляции Кенделла и Спирмена. Нелинейная зависимость.]]<br clear="both" />
 +
 
 +
Корреляции Кенделла и Спирмена не отражают меры нелинейной зависимости между переменными.
 +
 
 +
===Линейная и нелинейная зависимости===
 +
 
 +
На каждой из приведённых ниже иллюстраций осуществляется переход от линейной зависимости к нелинейной. Коэффициенты корреляции Кенделла и Спирмена реагируют на это одинаковым образом.
 +
 
 +
[[Изображение:Kendall Spearman 1.2.png|left|frame|Корреляции Кенделла и Спирмена. Перекрещенные полосы.]]<br clear="both" />
 +
[[Изображение:Kendall Spearman 1.3.png|left|frame|Корреляции Кенделла и Спирмена. Расширяющаяся полоса.]]<br clear="both" />
 +
[[Изображение:Kendall Spearman 1.4.png|left|frame|Корреляции Кенделла и Спирмена. Синусоида с переменной амплитудой.]]<br clear="both" />
 +
 
 +
По мере смены линейной зависимости нелинейной значения коэффициентов корреляции падают.
 +
 
 +
==Связь коэффициентов корреляции Кенделла и [[коэффициент корреляции Пирсона|Пирсона]]==
 +
 
 +
В случае выборок из нормального распределения коэффициент корреляции Кенделла <tex>\tau</tex> может быть использован для оценки [[коэффициент корреляции Пирсона|коэффициента корреляции Пирсона]] <tex>r</tex> по формуле:
 +
:: <tex>r=sin{\frac{\pi\tau}{2}}</tex>.<ref>Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — 625 с.</ref>
 +
 
 +
==Связь коэффициентов корреляции Кенделла и [[Коэффициент корреляции Спирмена|Спирмена]]==
Выборкам <tex>x</tex> и <tex>y</tex> соответствуют последовательности рангов:
Выборкам <tex>x</tex> и <tex>y</tex> соответствуют последовательности рангов:
Строка 40: Строка 89:
::<tex>R_y=(R_{y_1},\ldots,R_{y_n})</tex>, где <tex>R_{y_i}</tex> — ранг <tex>i</tex>-го объекта в [[вариационный ряд|вариационном ряду]] выборки <tex>y</tex>.
::<tex>R_y=(R_{y_1},\ldots,R_{y_n})</tex>, где <tex>R_{y_i}</tex> — ранг <tex>i</tex>-го объекта в [[вариационный ряд|вариационном ряду]] выборки <tex>y</tex>.
-
Проведем операцию упорядочевания рангов.
+
Проведем операцию упорядочивания рангов.
-
Расположим ряд значений <tex>x_i</tex> в порядке возрастания величины: <tex>x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n</tex>. Тогда последовательность рангов упорядоченной выборки <tex>x</tex> будет представлять собой последовательность натуральных чисел <tex>1,2,\cdots,n</tex>. Значения <tex>y</tex>, соответствующие значениям <tex>x</tex>, образуют в этом случае некоторую последовательность рангов <tex>T=(T_1,\cdots,T_n)</tex>.
+
Расположим ряд значений <tex>x_i</tex> в порядке возрастания величины: <tex>x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n</tex>. Тогда последовательность рангов упорядоченной выборки <tex>x</tex> будет представлять собой последовательность натуральных чисел <tex>1,2,\cdots,n</tex>. Значения <tex>y</tex>, соответствующие значениям <tex>x</tex>, образуют в этом случае некоторую последовательность рангов <tex>T=(T_1,\cdots,T_n)</tex>:
-
::<tex>(R_{x_i},R_{y_i})\rightarrow^{sort} (i,T_i),\; i=1,\cdots,n</tex> (<tex>sort</tex> — операция упорядочевания рангов).
+
::<tex>(R_{x_i},\;R_{y_i})\rightarrow^{sort} (i,\;T_i),\; i=1,\cdots,n</tex>.
Коэффициент корреляции Кенделла <tex>\tau</tex> и [[коэффициент корреляции Спирмена]] <tex>\rho</tex> выражаются через ранги <tex>T_i,\; i=1,\cdots,n</tex> следующим образом:
Коэффициент корреляции Кенделла <tex>\tau</tex> и [[коэффициент корреляции Спирмена]] <tex>\rho</tex> выражаются через ранги <tex>T_i,\; i=1,\cdots,n</tex> следующим образом:
-
::<tex>\rho=1-\frac{12}{n^3-n}\sum_{i<j}{(j-i)[T_i>T_j]}</tex>
+
::<tex>\rho=1-\frac{12}{n^3-n}\sum_{i<j}{(j-i)[T_i\ >\ T_j]};</tex>
-
::<tex>\tau=1-\frac{4}{n^2-1}\sum_{i<j}[T_i>T_j]</tex>
+
::<tex>\tau=1-\frac{4}{n^2-1}\sum_{i<j}[T_i\ >\ T_j];</tex>
-
Коэффициент корреляции Спирмена учитывает насколько сильна неупорядоченность.
+
Заметно, что в случае <tex>\rho</tex> инверсиям придаются дополнительные веса <tex>(j-i)</tex>, таким образом <tex>\rho</tex> сильнее реагирует на несогласие ранжировок, чем <tex>\tau</tex>. Этот эффект проявляется в приведённых выше примерах: в большинстве из них <tex>\left| \rho \right|\ >\ \left| \tau \right|</tex>.
-
'''Утверждение.''' Если выборки <tex>x</tex> и <tex>y</tex> не коррелируют (выполняется гипотеза <tex>H_0</tex>), то коэффициент корреляции между величинами <tex>\rho</tex> и <tex>\tau</tex> можно вычислить по формуле:
+
'''Утверждение.'''<ref>Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 345-346 с.</ref> Если выборки <tex>x</tex> и <tex>y</tex> не коррелируют (выполняется гипотеза <tex>H_0</tex>), то величины <tex>\rho</tex> и <tex>\tau</tex> сильно закоррелированы. Коэффициент корреляции между ними можно вычислить по формуле:
-
::<tex>corr(\rho,\tau)=\frac{2n+2}{\sqrt{4n^2+10n}}</tex>
+
::<tex>corr(\rho,\;\tau)=\frac{2n+2}{\sqrt{4n^2+10n}}</tex>.
-
== Литература ==
+
== История ==
-
# ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006. — 816&nbsp;с.
+
Критерий был введён в 1938 году известным британским статистиком Морисом Джорджем Кенделлом.
-
# ''Лагутин М. Б.'' Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003
+
-
==См. также==
+
== Примечания ==
-
*[[Коэффициент корреляции Пирсона]]
+
<references/>
-
*[[Ранговая корреляция]]
+
 
-
*[[Коэффициент корреляции Спирмена]]
+
== Литература ==
 +
# ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006. — 624-626&nbsp;с.
 +
# ''Лагутин М. Б.'' Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 345-346&nbsp;с.
 +
# ''Лапач С. Н., Чубенко А. В., Бабич П. Н.'' Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 187-189 с.
==Ссылки==
==Ссылки==
-
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Коэффициент_корреляции Коэффициент корреляции](Википедия)
+
*[[Ранговая корреляция]]
-
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Корреляционный_анализ Корреляционный анализ] (Википедия)
+
*[[Коэффициент корреляции Спирмена]] — другой способ расчёта ранговой корреляции.
 +
*[[Коэффициент корреляции Пирсона]]
 +
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Коэффициент_корреляции Коэффициент корреляции] — статья в русскоязычной Википедии.
 +
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Kendall_tau_rank_correlation_coefficient Kendall tau rank correlation coefficient] — статья в англоязычной Википедии.
[[Категория:Прикладная статистика]]
[[Категория:Прикладная статистика]]
Строка 72: Строка 126:
[[Категория:Корреляционный анализ|К]]
[[Категория:Корреляционный анализ|К]]
-
{{Задание|Василий Ломакин|Vokov|31 декабря 2009}}
+
{{Задание|Василий Ломакин|К. В. Воронцов|31 декабря 2009|Василий Ломакин|Vokov}}

Текущая версия

Содержание

Коэффициент корреляции Кенделла (Kendall tau rank correlation coefficient) — мера линейной связи между случайными величинами. Корреляция Кенделла является ранговой, то есть для оценки силы связи используются не численные значения, а соответствующие им ранги. Коэффициент инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.

Описание

Заданы две выборки x = (x_1,\ldots,x_n),\; y = (y_1,\ldots,y_n).

Вычисление корреляции Кенделла:

Коэффициент корреляции Кенделла вычисляется по формуле:

\tau=1-\frac{4}{n(n-1)}R, где R = \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\left[ \left[ x_i\ <\ x_j \right] \neq \left[ y_i\ <\ y_j \right] \right] — количество инверсий, образованных величинами y_i, расположенными в порядке возрастания соответствующих x_i.

Коэффициент \tau принимает значения из отрезка [-1;\;1]. Равенство \tau=1 указывает на строгую прямую линейную зависимость, \tau=-1 на обратную.

Обоснование критерия Кенделла:

Будем говорить, что пары (x_i,\; y_i) и (x_j,\; y_j) согласованы, если x_i\ <\ x_j и y_i\ <\ y_j или x_i\ >\ x_j и y_i\ >\ y_j, то есть sign(x_j-x_i)sign(y_j-y_i)=1. Пусть S - число согласованных пар, R - число несогласованных пар. Тогда, в предположении, что среди x_i и среди y_i нет совпадений, превышение согласованности над несогласованностью есть:

T = S - R = \sum_{i < j}sign(x_j-x_i)sign(y_j-y_i).

Для измерения степени согласия Кенделл предложил следующий коэффициент:

\tau = \frac{T}{max{T}} = \frac{2T}{n(n-1)} = \frac{2(S-R)}{n(n-1)} = 1 - \frac{4}{n(n-1)}R.

Таким образом, коэффициент \tau (линейно связанный с R) можно считать мерой неупорядоченности второй последовательности относительно первой.[1]

Статистическая проверка наличия корреляции

Критическая область критерия Кенделла.
Критическая область критерия Кенделла.

Нулевая гипотеза H_0: Выборки x и y не коррелируют.

Статистика критерия: \tau.

Асимптотический критерий (при уровне значимости \alpha):

Рассмотрим центрированную и нормированную статистику Кенделла:

\tilde{\tau} = \frac{\tau}{\sqrt{D_{\tau}}},, где D_{\tau}=\frac{2(2n+5)}{9n(n-1)}.

Нулевая гипотеза отвергается (против альтернативы H_1 - наличие корреляции), если:

 \left|\tilde{\tau}\right| \ge \Phi_{1-\alpha/2} , где \Phi_{1-\alpha} есть (1-\alpha)-квантиль стандартного нормального распределения.

Аппроксимация удовлетворительно работает, начиная с n\geq 10.[1]

Примеры

Ниже приведены примеры вычисления корреляций Кенделла и Спирмена. Значения коэффициентов указаны над каждым изображением в виде (\tau,\ \rho), где \tau - корреляция Кенделла, \rho - Спирмена. Заметно, что в большинстве случаев \left| \rho \right|\ >\ \left| \tau \right|. Объяснение этого эффекта приводится ниже.

Направление линейной зависимости

Корреляции Кенделла и Спирмена. Нормальные сгущения.
Корреляции Кенделла и Спирмена. Нормальные сгущения.

Коэффициенты корреляции реагируют на изменение направления и зашумлённость линейной зависимости между переменными.

Наклон линейного тренда

Корреляции Кенделла и Спирмена. Вращающаяся полоса.
Корреляции Кенделла и Спирмена. Вращающаяся полоса.

Коэффициенты корреляции реагируют на изменение направления, но не реагируют на изменение наклона тренда. На первом, четвёртом и седьмом рисунках дисперсия одной из переменных близка к нулю, поэтому не удаётся зафиксировать факт линейной зависимости.

Нелинейная зависимость

Корреляции Кенделла и Спирмена. Нелинейная зависимость.
Корреляции Кенделла и Спирмена. Нелинейная зависимость.

Корреляции Кенделла и Спирмена не отражают меры нелинейной зависимости между переменными.

Линейная и нелинейная зависимости

На каждой из приведённых ниже иллюстраций осуществляется переход от линейной зависимости к нелинейной. Коэффициенты корреляции Кенделла и Спирмена реагируют на это одинаковым образом.

Корреляции Кенделла и Спирмена. Перекрещенные полосы.
Корреляции Кенделла и Спирмена. Перекрещенные полосы.

Корреляции Кенделла и Спирмена. Расширяющаяся полоса.
Корреляции Кенделла и Спирмена. Расширяющаяся полоса.

Корреляции Кенделла и Спирмена. Синусоида с переменной амплитудой.
Корреляции Кенделла и Спирмена. Синусоида с переменной амплитудой.

По мере смены линейной зависимости нелинейной значения коэффициентов корреляции падают.

Связь коэффициентов корреляции Кенделла и Пирсона

В случае выборок из нормального распределения коэффициент корреляции Кенделла \tau может быть использован для оценки коэффициента корреляции Пирсона r по формуле:

r=sin{\frac{\pi\tau}{2}}.[1]

Связь коэффициентов корреляции Кенделла и Спирмена

Выборкам x и y соответствуют последовательности рангов:

R_x=(R_{x_1},\ldots,R_{x_n}), где R_{x_i} — ранг i-го объекта в вариационном ряду выборки x;
R_y=(R_{y_1},\ldots,R_{y_n}), где R_{y_i} — ранг i-го объекта в вариационном ряду выборки y.

Проведем операцию упорядочивания рангов.

Расположим ряд значений x_i в порядке возрастания величины: x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n. Тогда последовательность рангов упорядоченной выборки x будет представлять собой последовательность натуральных чисел 1,2,\cdots,n. Значения y, соответствующие значениям x, образуют в этом случае некоторую последовательность рангов T=(T_1,\cdots,T_n):

(R_{x_i},\;R_{y_i})\rightarrow^{sort} (i,\;T_i),\; i=1,\cdots,n.

Коэффициент корреляции Кенделла \tau и коэффициент корреляции Спирмена \rho выражаются через ранги T_i,\; i=1,\cdots,n следующим образом:

\rho=1-\frac{12}{n^3-n}\sum_{i<j}{(j-i)[T_i\ >\ T_j]};
\tau=1-\frac{4}{n^2-1}\sum_{i<j}[T_i\ >\ T_j];

Заметно, что в случае \rho инверсиям придаются дополнительные веса (j-i), таким образом \rho сильнее реагирует на несогласие ранжировок, чем \tau. Этот эффект проявляется в приведённых выше примерах: в большинстве из них \left| \rho \right|\ >\ \left| \tau \right|.

Утверждение.[1] Если выборки x и y не коррелируют (выполняется гипотеза H_0), то величины \rho и \tau сильно закоррелированы. Коэффициент корреляции между ними можно вычислить по формуле:

corr(\rho,\;\tau)=\frac{2n+2}{\sqrt{4n^2+10n}}.

История

Критерий был введён в 1938 году известным британским статистиком Морисом Джорджем Кенделлом.

Примечания


Литература

  1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 624-626 с.
  2. Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 345-346 с.
  3. Лапач С. Н., Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 187-189 с.

Ссылки


Данная статья является непроверенным учебным заданием.
Студент: Василий Ломакин
Преподаватель: К. В. Воронцов
Срок: 31 декабря 2009

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.