Критерий Колмогорова-Смирнова

Материал из MachineLearning.

Версия от 20:17, 11 декабря 2008; Denis Khromov (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Критерий Колмогорова-Смирнова используется для проверки гипотезы $H_0$ : "случайная величина $X$ имеет распределение $F(x)$ ".

Содержание

1 Описание критерия
2 Использование критерия для проверки нормальности
3 Литература
4 См. также
5 Ссылки

Описание критерия

Пусть $X_n$ - выборка независимых одинаково распределённых случайных величин, $F_n(x)$ - эмпирическая функция распределения, $\Phi(x)$ - некоторая фиксированная "истинная" функция распределения. Тогда статистика критерия определяется следующим образом:

$D_n=\sup_x |F_n(x)-\Phi(x)|.$

Обозначим через $H_0$ гипотезу о том, что выборка подчиняется распределению $\Phi(X)\in \mathrm{C}^1(\mathbb{X})$ . Тогда по теореме Колмогорова для введённой статистики справедливо:

$\forall t>0: \quad \lim_{n \to \infty}P(\sqrt{n} D_n \leq t)=K(t)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}(-1)^j \mathrm{e}^{-2j^2t^2}.$

Гипотеза $H_0$ отвергается, если статистика $\sqrt{n}D_n\!$ превышает квантиль распределения $K_\alpha$ заданного уровня значимости $\alpha$ , и принимается в противном случае.

Использование критерия для проверки нормальности

При помощи критерия Колмогорова-Смирнова определяется, описывает ли заданная функция наблюдаемое распределение $X$ , в то время как для проверки нормальности требуется выяснить, принадлежит ли функция распределения величины $X$ параметрическому семейству функций. Один из возможных способов решения этой проблемы заключается в вычислении выборочного среднего и выборочной дисперсии и последующем применении критерия к нормализованной выборке

$y_i=\frac{x_i-\bar{x}}{\sqr{\sigma_{\bar{x}}^2}}.$

Если эта нормализованная выборка имеет распределение $N(0, 1)$ , то считается, что исходная выборка также распределена нормально с параметрами $(\bar{x}, \sigma_{\bar{x}})$ .

Литература

Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
Kolmogorov А. N. Confidence limits for an unknown distribution function // AMS. 1941. V. 12. P. 461-463.
211. Смирнов Н. В. Оценка расхождения между эмпирическими кривыми распределений в двух независимых выборках // Бюллетень МГУ. Сер. А. Вып. 2. 1939. С. 13—14.