Критерий омега-квадрат
Материал из MachineLearning.
(→Описание критерия) |
(→Ссылки) |
||
| (13 промежуточных версий не показаны.) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Критерий омега-квадрат''', также называемый критерием Смирнова-Крамера-фон Мизеса, | '''Критерий омега-квадрат''', также называемый критерием Смирнова-Крамера-фон Мизеса, | ||
используется для проверки гипотезы "случайная величина <tex>X</tex> имеет распределение <tex>F(x)</tex>". | используется для проверки гипотезы "случайная величина <tex>X</tex> имеет распределение <tex>F(x)</tex>". | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
==Описание критерия== | ==Описание критерия== | ||
| - | Пусть <tex>x_1,\dots,x_n</tex> - элементы выборки. | + | Пусть <tex>x_1,\dots,x_n</tex> - элементы выборки, упорядоченные по возрастанию. |
Статистика критерия имеет вид | Статистика критерия имеет вид | ||
| - | ::<tex>n\omega^2=\frac{1}{12n}+\sum_{i=1}^{n}\{F(x_i-\frac{2i-1}{2n} | + | ::<tex>n\omega^2=\frac{1}{12n}+\sum_{i=1}^{n}\{F(x_i)-\frac{2i-1}{2n}\}^2</tex>, |
| - | где <tex>F(x)</tex> - теоретическая функция распределения. | + | где <tex>F(x)</tex> - теоретическая функция распределения с известными параметрами. То есть, проверяется простая гипотеза. |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | При объёме выборки <tex>n>40</tex> можно пользоваться квантилями распределения <tex>n\omega^2</tex>, | |
| + | приведенными в следующей таблице: | ||
| + | ::{|class="standard" | ||
| + | |<tex>\alpha</tex> | ||
| + | |0,900 | ||
| + | |0,950 | ||
| + | |0,990 | ||
| + | |0,995 | ||
| + | |0,999 | ||
| + | |- | ||
| + | |<tex>n\omega^2(\alpha)</tex> | ||
| + | |0,3473 | ||
| + | |0,4614 | ||
| + | |0,7435 | ||
| + | |0,8694 | ||
| + | |1,1679 | ||
| + | |} | ||
| + | При <tex>n<40</tex> таблицей можно пользоваться с заменой <tex>n\omega^2</tex> на | ||
| + | ::<tex>(n\omega^2)'=(\frac{n\omega^2}{4}-\frac{0,4}{n}+\frac{0,6}{n^2})(1+\frac{1}{n}).</tex> | ||
| + | |||
| + | ==Использование критерия для проверки нормальности== | ||
| + | В данном случае критерий омега-квадрат (Крамера-Мизеса-Смирнова) используется для проверки ''сложной гипотезы'' о принадлежности случайной величины <tex>X</tex> нормальному закону, параметры которого оцениваются по этой же выборке методом максимального правдоподобия (используются выборочные оценки среднего и дисперсии). | ||
| + | |||
| + | Надо отметить, что распределения статистики критерия различаются для случаев оценивания одного, другого или обоих параметров. | ||
| + | |||
| + | В случае использования выборочных оценок среднего и дисперсии можно воспользоваться критическими значениями, представленными в таблице (Мартынов Г.В.): | ||
| + | ::{|class="standard" | ||
| + | |<tex>\alpha</tex> | ||
| + | |0,900 | ||
| + | |0,950 | ||
| + | |0,990 | ||
| + | |0,995 | ||
| + | |0,999 | ||
| + | |- | ||
| + | |<tex>n\omega^2(\alpha)</tex> | ||
| + | |0,1035 | ||
| + | |0,1260 | ||
| + | |0,1788 | ||
| + | |0,2018 | ||
| + | |0,2559 | ||
| + | |} | ||
| + | |||
| + | == Проверка сложных гипотез == | ||
| + | При проверке ''сложных гипотез'', когда по выборке оцениваются параметры закона, с которым проверяется согласие, непараметрические критерии согласия теряют свойство свободы от распределения (Kac, Kiefer, Wolfowitz). | ||
| + | При проверке сложных гипотез условные распределения статистик непараметрических критериев согласия (и критерия Крамера-Мизеса-Смирнова) зависят от ряда факторов: от вида наблюдаемого закона, соответствующего справедливой проверяемой гипотезе; от типа оцениваемого параметра и числа оцениваемых параметров; в некоторых случаях от конкретного значения параметра (например, в случае семейств гамма- и бета-распределений); от метода оценивания параметров. | ||
| + | |||
| + | Различия в предельных распределениях той же самой статистики при проверке простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим ни коем случае нельзя. | ||
| + | |||
| + | О применении критерия Колмогорова для проверки различных сложных гипотез см. на сайте Новосибирского государственного технического университета: | ||
| + | |||
| + | * [http://ami.nstu.ru/~headrd/seminar/publik_html/Statistical_Data_Analysis.pdf Статистический анализ данных, моделирование и исследование вероятностных закономерностей. Компьютерный подход : монография. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2011. – 888 с. (главы 3 и 4)] | ||
| + | * [http://ami.nstu.ru/~headrd/seminar/publik_html/Models_Part_I.pdf Модели распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез с использованием оценок максимального правдоподобия. Ч.I // Измерительная техника. 2009. № 6. – С.3-11.] | ||
| + | * [http://ami.nstu.ru/~headrd/seminar/publik_html/Models_Part_II.pdf Модели распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез с использованием оценок максимального правдоподобия. Ч.II // Измерительная техника. 2009. № 8. – С.17-26.] | ||
==Литература== | ==Литература== | ||
| - | #'' | + | #''Большев Л.Н., Смирнов Н.В.'' Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983. |
#''Смирнов Н. В.'' О распределении <tex>n\omega^2</tex>-критерия Мизеса // Математический сб. 1937.2(44), №5. С. 973-993. | #''Смирнов Н. В.'' О распределении <tex>n\omega^2</tex>-критерия Мизеса // Математический сб. 1937.2(44), №5. С. 973-993. | ||
#''Смирнов Н. В.'' О критерии Крамера—фон Мизеса // Успехи матем. наук (новая серия). 1949. Т. 4, №4C2). С. 196-197. | #''Смирнов Н. В.'' О критерии Крамера—фон Мизеса // Успехи матем. наук (новая серия). 1949. Т. 4, №4C2). С. 196-197. | ||
| - | #''Мартынов Г. В.'' Критерии омега-квадрат. — М.: Наука, 1978. | + | #''Мартынов Г. В.'' Критерии омега-квадрат. — М.: Наука, 1978. |
| + | #''Kac M., Kiefer J., Wolfowitz J.'' On Tests of Normality and Other Tests of Goodness of Fit Based on Distance Methods // Ann. Math. Stat., 1955. V.26. – P.189-211. | ||
| + | # [Р 50.1.037–2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II. Непараметрические критерии. – М.: Изд-во стандартов. 2002. – 64 с.[http://ami.nstu.ru/~headrd/seminar/nonparametric/start2.htm]] | ||
| + | |||
==Ссылки== | ==Ссылки== | ||
| - | *[http://en.wikipedia.org/wiki/Cram%C3%A9r-von-Mises_criterion Cramér-von-Mises criterion](Wikipedia) | + | * [http://ru.wikipedia.org/wiki/Критерий_Крамера_-_Мизеса_-_Смирнова Критерий Крамера-Мизеса-Смирнова в ''Википедии''] |
| + | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Cram%C3%A9r-von-Mises_criterion Cramér-von-Mises criterion](Wikipedia) | ||
| + | |||
==См. также== | ==См. также== | ||
*[[Критерий Шапиро-Уилка]] | *[[Критерий Шапиро-Уилка]] | ||
*[[Критерий Колмогорова-Смирнова]] | *[[Критерий Колмогорова-Смирнова]] | ||
*[[Критерий хи-квадрат]] | *[[Критерий хи-квадрат]] | ||
| + | |||
| + | [[Категория:Прикладная статистика]] | ||
| + | [[Категория:Параметрические статистические тесты]] | ||
Текущая версия
Критерий омега-квадрат, также называемый критерием Смирнова-Крамера-фон Мизеса,
используется для проверки гипотезы "случайная величина имеет распределение
".
Содержание |
Описание критерия
Пусть - элементы выборки, упорядоченные по возрастанию.
Статистика критерия имеет вид
,
где - теоретическая функция распределения с известными параметрами. То есть, проверяется простая гипотеза.
При объёме выборки можно пользоваться квантилями распределения
,
приведенными в следующей таблице:
0,900 0,950 0,990 0,995 0,999 0,3473 0,4614 0,7435 0,8694 1,1679
При таблицей можно пользоваться с заменой
на
Использование критерия для проверки нормальности
В данном случае критерий омега-квадрат (Крамера-Мизеса-Смирнова) используется для проверки сложной гипотезы о принадлежности случайной величины нормальному закону, параметры которого оцениваются по этой же выборке методом максимального правдоподобия (используются выборочные оценки среднего и дисперсии).
Надо отметить, что распределения статистики критерия различаются для случаев оценивания одного, другого или обоих параметров.
В случае использования выборочных оценок среднего и дисперсии можно воспользоваться критическими значениями, представленными в таблице (Мартынов Г.В.):
0,900 0,950 0,990 0,995 0,999 0,1035 0,1260 0,1788 0,2018 0,2559
Проверка сложных гипотез
При проверке сложных гипотез, когда по выборке оцениваются параметры закона, с которым проверяется согласие, непараметрические критерии согласия теряют свойство свободы от распределения (Kac, Kiefer, Wolfowitz). При проверке сложных гипотез условные распределения статистик непараметрических критериев согласия (и критерия Крамера-Мизеса-Смирнова) зависят от ряда факторов: от вида наблюдаемого закона, соответствующего справедливой проверяемой гипотезе; от типа оцениваемого параметра и числа оцениваемых параметров; в некоторых случаях от конкретного значения параметра (например, в случае семейств гамма- и бета-распределений); от метода оценивания параметров.
Различия в предельных распределениях той же самой статистики при проверке простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим ни коем случае нельзя.
О применении критерия Колмогорова для проверки различных сложных гипотез см. на сайте Новосибирского государственного технического университета:
- Статистический анализ данных, моделирование и исследование вероятностных закономерностей. Компьютерный подход : монография. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2011. – 888 с. (главы 3 и 4)
- Модели распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез с использованием оценок максимального правдоподобия. Ч.I // Измерительная техника. 2009. № 6. – С.3-11.
- Модели распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез с использованием оценок максимального правдоподобия. Ч.II // Измерительная техника. 2009. № 8. – С.17-26.
Литература
- Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.
- Смирнов Н. В. О распределении
-критерия Мизеса // Математический сб. 1937.2(44), №5. С. 973-993.
- Смирнов Н. В. О критерии Крамера—фон Мизеса // Успехи матем. наук (новая серия). 1949. Т. 4, №4C2). С. 196-197.
- Мартынов Г. В. Критерии омега-квадрат. — М.: Наука, 1978.
- Kac M., Kiefer J., Wolfowitz J. On Tests of Normality and Other Tests of Goodness of Fit Based on Distance Methods // Ann. Math. Stat., 1955. V.26. – P.189-211.
- [Р 50.1.037–2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II. Непараметрические критерии. – М.: Изд-во стандартов. 2002. – 64 с.[1]]
