|
|
| (16 промежуточных версий не показаны.) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| - | {{Задание|Касперский Иван|Константин Воронцов|{{дата|6|1|2009}}, а сейчас {{дата}}}}
| + | #REDIRECT [[Многомерная линейная регрессия]] |
| - | Многомерная линейная регрессия — это [[регрессия]] в n-мерном пространстве.
| + | |
| - | == Многомерная линейная регрессия ==
| + | |
| - | Имеется множество объектов <tex>X = \mathbb{R} ^n</tex> и множество ответов <tex>Y = \mathbb{R}</tex>. Также имеется набор <tex>n</tex> вещественнозначных признаков <tex>f_j(x), \ j=1, \ \ldots , \ n</tex>. Введём матричные обозначения: матрицу информации <tex>F</tex>, целевой вектор <tex>y</tex> и вектор параметров <tex>\alpha</tex>:
| + | |
| - | :<tex>F=\(f_1\ \dots\ f_n\)\;,\ \ f_i=\(f_i(x_1)<br>\ \vdots<br>f_i(x_l)\)\;, \ \ y=\(y_1<br>\ \vdots<br>y_l\)\;, \ \ \ \alpha=\(\alpha_1<br>\ \vdots<br>\alpha_n\)\ .</tex>
| + | |
| - | | + | |
| - | Алгоритм:
| + | |
| - | :<tex>a(x) = \sum_{j=1}^n\alpha_jf_j(x)</tex>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Оценим качество его работы на выборке <tex>X^l = (x_i,\ y_i)_{i=1}^l \in X*Y</tex> [[Метод наименьших квадратов| методом наименьших квадратов]]:
| + | |
| - | :<tex>Q(\alpha, X^l)\ =\ \sum_{i=1}^l(a(x_i) - y_i)^2 \rightarrow \min_{\alpha \in \mathbb{R}^n}</tex>, или, в матричных обозначениях,<br />
| + | |
| - | :<tex>Q(\alpha)\ =\ \parallel (F\alpha\ -\ y)\parallel^2 \rightarrow \min_{\alpha \in \mathbb{R}^n}</tex>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Найдём минимум <tex>Q(\alpha)</tex> по α:
| + | |
| - | :<tex>\frac{\partial Q (\alpha)}{\partial \alpha} = 2 F^T (F\alpha - y) = 0\ \Rightarrow\ (F^TF)\alpha = F^Ty</tex>.<br />
| + | |
| - | Если <tex>rank(F^TF) = n</tex>, то можно обращать матрицу <tex>F^TF\ \text{:}\ \alpha^* = (F^TF)^{-1}F^Ty = F^+y</tex>, где введено обозначение <tex>F^+ = (F^TF)^{-1}F^T</tex>.
| + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | В таком случае функционал качества записывается в более удобной форме:<br />
| + | |
| - | :<tex>Q(\alpha^*) = \parallel F(F^TF)^{-1}F^Ty - y \parallel ^2 = \parallel P_{_F}y - y \parallel^2</tex>, где <tex>P_F</tex> — проекционная матрица:<br />
| + | |
| - | <tex>P_{_F} y</tex> — вектор, являющийся проекцией <tex>y</tex> на <tex>\mathfrak{L}(f_1,\ \dots,\ f_n)</tex>.<br />
| + | |
| - | {{бледно|<small>как нарисовать значок проекционной матрицы, чтобы его можно было отличить от того, на что матрица умножается?!</small>}}
| + | |
| - | | + | |
| - | Теперь рассмотрим [[сингулярное разложение]] матрицы F:<br />
| + | |
| - | :<tex>F\ =\ VDU^T</tex>.
| + | |
| - | В таких обозначениях:<br />
| + | |
| - | :<tex>F^+\ =\ (F^TF)^{-1}F^T\ =\ (UDV^TVDU^T)^{-1}UDV^T\ =\ (UDDU^T)^{-1}UDV^T\ =\ U^{-T}D^{-2}U^{-1}UDV^T\ =\ U^{-T}D^{-2}DV^T</tex>, а так как <tex>U^{-1}\ =\ U^T</tex>, то <tex>F^+\ =\ UD^{-1}V^T\ =\ \sum_{j=1}^{n}{ \frac{1}{\sqrt{\lambda _j}}u_j v_j^T }</tex> в силу диагональности матрицы ''D''.
| + | |
| - | | + | |
| - | А решение метода наименьших квадратов запишется в следующем виде:<br />
| + | |
| - | :<tex>\alpha ^*\ =\ F^+y\ =\ \sum_{j=1}^{n} \frac1{\sqrt{\alpha _j}} u_j(v_j^T,\ y);</tex><br />
| + | |
| - | А так как <tex>\parallel \alpha \parallel^2 \ =\ \alpha ^T \alpha</tex>, то <br />
| + | |
| - | :<tex>\parallel \alpha ^*\parallel^2 \ =\ \parallel UD^{-1}V^Ty \parallel^2 \ =\ y^TVD^{-T}U^TUD^{-1}V^Ty\ =\ y^TVD^{-2}V^Ty\ =\ \parallel D^{-1}V^Ty \parallel^2\ =\ \sum_{j=1}^{n} \frac1{\alpha _j} (v_j^T,\ y)^2.</tex>
| + | |
| - | <references/>
| + | |
