МЛР

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 2: Строка 2:
== Многомерная линейная регрессия ==
== Многомерная линейная регрессия ==
Имеется множество объектов <tex>X = \mathbb{R} ^n</tex> и множество ответов <tex>Y = \mathbb{R}</tex>. Также имеется набор <tex>n</tex> вещественнозначных признаков <tex>f_j(x), \ j=1, \ \ldots , \ n</tex>. Введём матричные обозначения: матрицу информации <tex>F</tex>, целевой вектор <tex>y</tex> и вектор параметров <tex>\alpha</tex>:
Имеется множество объектов <tex>X = \mathbb{R} ^n</tex> и множество ответов <tex>Y = \mathbb{R}</tex>. Также имеется набор <tex>n</tex> вещественнозначных признаков <tex>f_j(x), \ j=1, \ \ldots , \ n</tex>. Введём матричные обозначения: матрицу информации <tex>F</tex>, целевой вектор <tex>y</tex> и вектор параметров <tex>\alpha</tex>:
-
:<tex>F=\(f_1(x_1)\ \ \ldots\ \ f_n(x_1)<br>\ \vdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ddots\ \ \ \ \vdots<br>f_1(x_l)\ \ \ldots\ \ f_n(x_l)\)\;, \ \ \ y=\(y_1<br>\ \vdots<br>y_l\)\;, \ \ \ \alpha=\(\alpha_1<br>\ \vdots<br>\alpha_n\)\ .</tex>
+
:<tex>F=\(f_1\ \dots\ f_n\)\;,\ \ f_i=\(f_i(x_1)<br>\ \vdots<br>f_i(x_l)\)\;, \ \ y=\(y_1<br>\ \vdots<br>y_l\)\;, \ \ \ \alpha=\(\alpha_1<br>\ \vdots<br>\alpha_n\)\ .</tex>
Алгоритм:
Алгоритм:
Строка 12: Строка 12:
Найдём минимум <tex>Q(\alpha)</tex> по α:
Найдём минимум <tex>Q(\alpha)</tex> по α:
-
:<tex>\frac{\partial Q (\alpha)}{\partial \alpha} = 2 F^T (F\alpha - y) = 0\ \Rightarrow\ (F^TF)\alpha = F^Ty</tex>
+
:<tex>\frac{\partial Q (\alpha)}{\partial \alpha} = 2 F^T (F\alpha - y) = 0\ \Rightarrow\ (F^TF)\alpha = F^Ty</tex>.<br />
 +
Если <tex>rank(F^TF) = n</tex>, то можно обращать матрицу <tex>F^TF\ \text{:}\ \alpha^* = (F^TF)^{-1}F^Ty = F^+y</tex>, где введено обозначение <tex>F^+ = (F^TF)^{-1}F^T</tex>.
 +
 
 +
 
 +
В таком случае функционал качества записывается в более удобной форме:<br />
 +
:<tex>Q(\alpha^*) = \parallel F(F^TF)^{-1}F^Ty - y \parallel ^2 = \parallel P_Fy - y \parallel^2</tex>, где <tex>P_F</tex> &mdash; проекционная матрица:<br />
 +
<tex>P_Fy</tex> -- вектор, являющийся проекцией <tex>y</tex> на <tex>\mathfrak{L}(f_1,\ \dots,\ f_n)</tex>.

Версия 22:19, 4 января 2010

Данная статья является непроверенным учебным заданием.
Студент: Участник:Касперский Иван
Преподаватель: Участник:Константин Воронцов
Срок: 6 января 2009, а сейчас 29 апреля 2024

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.


Многомерная линейная регрессия

Имеется множество объектов X = \mathbb{R} ^n и множество ответов Y = \mathbb{R}. Также имеется набор n вещественнозначных признаков f_j(x), \ j=1, \ \ldots , \ n. Введём матричные обозначения: матрицу информации F, целевой вектор y и вектор параметров \alpha:

F=\(f_1\ \dots\ f_n\)\;,\ \ f_i=\(f_i(x_1)<br>\ \vdots<br>f_i(x_l)\)\;, \ \ y=\(y_1<br>\ \vdots<br>y_l\)\;, \ \ \ \alpha=\(\alpha_1<br>\ \vdots<br>\alpha_n\)\ .

Алгоритм:

a(x) = \sum_{j=1}^n\alpha_jf_j(x).

Оценим качество его работы на выборке X^l = (x_i,\ y_i)_{i=1}^l \in X*Y методом наименьших квадратов:

Q(\alpha, X^l) = \sum_{i=1}^l(a(x_i) - y_i)^2 \rightarrow \min_{\alpha \in \mathbb{R}^n}, или, в матричных обозначениях,
Q(\alpha)\ =\ \parallel (F\alpha\ -\ y)\parallel^2 \rightarrow \min_{\alpha \in \mathbb{R}^n}.

Найдём минимум Q(\alpha) по α:

\frac{\partial Q (\alpha)}{\partial \alpha} = 2 F^T (F\alpha - y) = 0\ \Rightarrow\ (F^TF)\alpha = F^Ty.

Если rank(F^TF) = n, то можно обращать матрицу F^TF\ \text{:}\ \alpha^* = (F^TF)^{-1}F^Ty = F^+y, где введено обозначение F^+ = (F^TF)^{-1}F^T.


В таком случае функционал качества записывается в более удобной форме:

Q(\alpha^*) = \parallel F(F^TF)^{-1}F^Ty - y \parallel ^2 = \parallel P_Fy - y \parallel^2, где P_F — проекционная матрица:

P_Fy -- вектор, являющийся проекцией y на \mathfrak{L}(f_1,\ \dots,\ f_n).

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%9B%D0%A0»
Личные инструменты