Медиальное множество

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: == Определение == Для каждой точки <tex>x\in\Omega</tex> обозначим <tex>D(x)</tex> множество ближайших граничных точек: ...)
Строка 2: Строка 2:
Для каждой точки <tex>x\in\Omega</tex> обозначим <tex>D(x)</tex> множество ближайших граничных точек: <tex>D(x)=\{y\in\Omega^c: d(x,y)=d(x,\Omega^c)\}</tex> (<tex>\Omega^c = \mathbb{R}^n\setminus\Omega</tex> --- дополнение к <tex>\Omega</tex>).
Для каждой точки <tex>x\in\Omega</tex> обозначим <tex>D(x)</tex> множество ближайших граничных точек: <tex>D(x)=\{y\in\Omega^c: d(x,y)=d(x,\Omega^c)\}</tex> (<tex>\Omega^c = \mathbb{R}^n\setminus\Omega</tex> --- дополнение к <tex>\Omega</tex>).
-
'''Медиальным множеством'э' (''medial locus'') <tex>\Omega</tex> называется множество <tex>M_{\Omega}</tex> точек <tex>\Omega</tex>, имеющих, по меньшей мере, две ближайшие граничные точки: <tex>M_{\Omega}=\{x\in\Omega|Card(D(x))\geq 2\}</tex>.
+
'''Медиальным множеством''' (''medial locus'') <tex>\Omega</tex> называется множество <tex>M_{\Omega}</tex> точек <tex>\Omega</tex>, имеющих, по меньшей мере, две ближайшие граничные точки: <tex>M_{\Omega}=\{x\in\Omega|Card(D(x))\geq 2\}</tex>.
== Медиальное множество (срединная ось) на плоскости ==
== Медиальное множество (срединная ось) на плоскости ==

Версия 20:43, 27 февраля 2011

Определение

Для каждой точки x\in\Omega обозначим D(x) множество ближайших граничных точек: D(x)=\{y\in\Omega^c: d(x,y)=d(x,\Omega^c)\} (\Omega^c = \mathbb{R}^n\setminus\Omega --- дополнение к \Omega).

Медиальным множеством (medial locus) \Omega называется множество M_{\Omega} точек \Omega, имеющих, по меньшей мере, две ближайшие граничные точки: M_{\Omega}=\{x\in\Omega|Card(D(x))\geq 2\}.

Медиальное множество (срединная ось) на плоскости

Зачастую медиальное множество называется срединной осью (medial axis), хотя лучше такое название применять только к плоским множествам (\Omega\subset \mathbb{R}^2), особенно в русскоязычной терминологии.

В случае, когда n=2, обычно рассматривают не произвольные открытые ограниченные связные множества \Omega, а накладывают определенные ограничения на границу \Omega^c. Множество \overline{\Omega} при этом называется плоской фигурой.

Медиальное множество плоской фигуры называют также срединной осью (medial axis) плоской фигуры.

Внутреннее и внешнее медиальное множество, множество симметрии

Строго говоря, определенное выше медиальное множество является внутренним медиальным множеством множества \Omega (internal medial locus). Иногда рассматривают также внешние медиальные множества.

Для каждой точки x\in\Omega^c обозначим D_e(x) множество ближайших граничных точек: D_e(x)=\{y\in\Omega^c: d(x,y)=d(x,\Omega)\}.

Определение. Внешним медиальным множеством \Omega (external medial locus) называется множество M^e_{\Omega} точек \Omega^c, имеющих, по меньшей мере, две ближайшие граничные точки: M^e_{\Omega}=\{x\in\Omega^c|Card(D_e(x))\geq 2\}.

Внутреннее медиальное множество обозначается M^i_\Omega. Иногда под термином медиальное множество понимают объединение внутреннего и внешнего медиальным множеств: M_{\Omega}=M^i_{\Omega}\cup M^e_{\Omega}, но чаще всего медиальное множество --- это именно внутреннее медиальное множество: M_{\Omega}=M^i_{\Omega}.

Для каждой точки x\in\mathbb{R}^n обозначим D_{sym}(x) множество ближайших точек границы : <tex>D_{sym}(x)=\{y\in\partial\Omega^c: d(x,y)=d(x,\partial\Omega^c)\}.

Определение. Множеством симметрии \Omega (symmetry set) называется множество Sym_{\Omega} точек \mathbb{R}^n, имеющих, по меньшей мере, две ближайшие точки на границе : <tex>Sym_{\Omega}=\{x\in\mathbb{R}^n|Card(D_{sym}(x))\geq 2\}.